Algèbre et analyse

[pic 1]

[pic 2]

Definition intuitive :

Une application f est donnée de trois infos :

• Un ensemble dit « départ » ou "source" E

• Un ensemble dit « d’arrivée » ou «but»

• Tout élément x de E un et seul élément de F ( noté f(x))

Definition fonction :

Soit E et F deux ensembles, et D une partie de E.

Une application de D dans F est appelée une fonction de E dans F .

D est appelé le domaine de def de la fonction, noté Df

[pic 3]

Graphe :

Soit une application f : E → F

On appelle graphe de f la partie de E x F des couples de la forme (x,f(x)).

Autrement dit, c’est l’ensemble {(x,y)∈ E x F / f(x) = y }

Notation

Exemple

La fct ↦√x. Définie sur R+ La fut logarithme népérien x↦ln(x).Définie sur R⋆₊

Y

v(Xo,yo).

y0 = f(x0)

Xo

Chapitre 5 - APPLICATION -

[pic 4]

Application réciproque  :

Soit f : E →F une application.

On dit qu’une application g : F → E est réciproque de f si fog = Idf et golf = Ide

Remarque : ça n’existe pas toujours :

[pic 5]

F

Unicité de la réciproque  :

Soit f : E →F. Si g₁ : F → E et g₂ : F → E sont des réciproque de f , alors g₁ = g₂ Preuve : ( cahier )

Notation

[pic 6]

- EXEMPLE -

f : R→R

X→X²        NI SURJECTIVE, NI INJECTIVE

• Deux antécédent donc pas injective

• Pas antécédent donc par surjective

g : R+→R

X→X²        INJECTIVE , NON SURJECTIVE

- Enleve car R-

- Un seul élément donc injective

Restriction :

On appelle restriction d’une application f : E → F à A ⊂ E

l’application :        f A : A → F

x → F(x)

Prolongement :

Soient f : A→B une application, et soit g : E→F telle que A⊂C et B⊂F. On dit que g est un prolongement de f si l’application h : A→B est égale à f .

x→gA(x)

•  "

i

d        D        O        b

Lorsqu’une application f admet une réciproque, on la note f⁻¹

Injective :

Soit f : E →F une application.

On dit que f est injective si :

∀(x,x’)∈E² , f(x) = f(x’)⇒x=x’  Pas la même image

• : R-→R+

X→X²        BIJECTIVE

- Enleve car R+

- Bijective

Exemple THÉORÈME :

Image :

Si f : E →F une application, alors :

• Pour x∈E, on appelle image de x par f l’élément y=f(x)∈F

• On appelle image d’une partie A⊂E, le sous ensemble de f formé de toutes les images d’éléments de A par f.

f(A) = {y∈F/Ǝx∈A, y=f(x)} = {f(x)/x∈A}

• L’image de l’application f est f(E)

ni

E ǧ•        § f1Et

"

fin

A        f

• V

[pic 7]

[pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12]

Surjective :

On dit que f est surjective si :

∀y∈F , Ǝx∈E , f(x)= y

Soient f : E → F et g : F → G des applications bijectives.

Alors g◦f est bijective de réciproque (g◦f) ⁻¹=f ⁻¹ ◦ g ⁻¹ .

...