Рermettre des prévisions et faciliter la prise de décision

Introduction

Le but : permettre des prévisions et faciliter la prise de décision.

Probabilités : proposent et étudient des modèles mathématiques de phénomènes aléatoires

Statistiques : partent des données.

» statistique descriptive : structure et décrire les données

» statistique inférentielle : proposer un modèle probabiliste pour généraliser l'étude d'un échantillon à l'ensemble de la population.

Chapitre 1 : Introduction aux probabilités

Expérience aléatoire † : on ne peut prévoir les résultats en fonction des conditions initiales.

Résultat élémentaire ” : le résultat de l'expérence †.

L'univers “ : l'ensemble de tous les résultats élémentaires ”.

Exemple :

Une urne contient 4 boules rouges et 5 boules bleues, indiscernables.

Expérience † : on tire successivement 2 boules de l'urne sans remise.

Univers “ : {(R,R),(R,B),(B,B),(B,R)}

Evènements élémentaire : (R,R),(R,B),(B,B),(B,R)

Evènements :

Définitions : On appelle évènement toute partie A de l'univers “ et on note A ¾ “. “ est appelé évènement certain. Ø est appelé évènement impossible.

Exemple :

A = {la première boule est rouge} = {(R,R),(R,B)}

B = {la deuxième boule est bleue} = {(B,B),(R,B)}

Opérations sur les évènements

A et B deux évènements.

Þ Intersection A ½ B : A ½ B = {” ¿ “ tel que ” ¿ A et ” ¿ B}

Réalisation de A et B.

Exemple :

A = {la première boule est rouge} = {(R,R),(R,B)}

B = {la deuxième boule est bleue} = {(B,B),(R,B)}

A ½ B = {(R,B)}

Þ Réunion A ¼ B : A ¼ B = {” ¿ “ tel que ” ¿ A ou ” ¿ B}

Réalisation de A ou B.

Exemple :

A ¼ B = {(R,R), (B,B) ,(R,B)}

Þ Complémentarité A : A = {” ¿ “ tel que ” n'appartient pas à A}

Evènement contraire de A.

Exemple :

A = {(B,B) ,(B,R)}

Remarque : “ = Ø / Ø = “ / pour tout A ¾ “, (A double barre) = A

Relation entre évènements

Þ Inclusion A ¾ B : A ¾ B <=> pour tout ” ¿ “ tel que ” ¿ A => ” ¿ B

Si A est réalisé, B aussi.

Exemple :

Soit A = {la 1ère boule tirée est rouge}

Soit B = {au moins une des boules tirées est rouge}

Donc B ¾ A

Þ Incompatibilité : A et B incompatibles <=> A ½ B = Ø

Les deux évènements ne peuvent avoir lieu en même temps.

Exemple :

A : {(R,R),(R,B)} et A = {(B,R),(B,B)} sont incompatibles.

Propriétés des opérations ½ et ¼

Þ Relation évidentes : pour tout A ¾ “ tel que A ½ “ = A ; A ¼ “ = “

D'où la relation A ½ Ø = Ø ; A ¼ Ø = A

Þ Continuité de ½ et ¼ : A et B deux parties de “ soit A et B ¾ “.

A ½ B = B ½ A

A ¼ B = B ¼ A

Þ Associativité de ½ et ¼ : A, B et C, 3 évènements de “

(A½B) ½ C = A½(B½C) = A½B½C

Pareil pour ¼.

Þ

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