Modèle de Markowitz et de Sharpe

Modèles de Markowitz et de Sharpe

1. Principe de base du modèle de Markowitz

Entre 2 portefeuilles caractérisés par leur rendement (supposé aléatoire), on retient :

 à risque identique celui qui a l’espérance de rendement la plus élevée ;

 à espérance de rendement identique, celui qui a présente le risque le plus faible.

Ce principe conduit à éliminer un certain nombre de portefeuilles, moins efficients que d’autres.

La courbe qui relie l’ensemble des portefeuilles efficients s’appelle la frontière efficiente.

En dessous de cette courbe, tous les portefeuilles rejetés sont dits dominés.

2. Sélection d’un des portefeuilles situés sur la frontière efficiente

Soit Rp le rendement du portefeuille composé de n actifs caractérisés par leur rendement respectif R1, R2,… Rn. On suppose, en outre, que chaque actif i entre pour une proportion Xi dans la composition du portefeuille P.

En d’autres termes : .

Dès lors :

Sélectionner un portefeuille revient à choisir celui tel que :

 E(Rp) soit maximal …

 … et V(Rp) soit minimal…

 sous la contrainte que = 1.

Il s’agit donc d’un problème de maximisation d’une fonction économique sous contrainte.

Soit Z cette fonction économique.

Z = qui doit être maximisée sous la contrainte que = 1,

où est un paramètre qui représente le degré d’aversion au risque des investisseurs. En d’autres termes, il s’agit du taux marginal de substitution du rendement et du risque qui exprime dans quelle mesure l’investisseur est d’accord pour supporter un risque accru en contrepartie d’un accroissement de son espérance de rendement.

En utilisant le lagrangien de cette expression, le problème de maximisation sous contrainte consiste à déterminer le maximum de la fonction Z définie par :

Z =

Cette fonction de n+1 variables ( ) est maximisée si sa dérivée (partielle) par rapport à chacune de ces variables est nulle, ce qui revient à poser le système suivant :

Soit =

On peut alors écrire :

soit matriciellement :

=

Soit désormais :

A = ; B = et X =

Dans ce cas, le système d’équations à résoudre peut se résumer sous la forme A.X=B

Par conséquent : X =

La détermination

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