Maximisation sous contrainte et optimum parétien

Maximisation sous contrainte et optimum parétien

Lorsqu’un agent économique rationnel poursuit un objectif qui peut s’exprimer par une fonction à une seule variable, son calcul économique revient à maximiser sa fonction d’objectif sous contrainte c’est-à-dire à déterminer sous une contrainte particulière le maximum de cette fonction. Exemples :

- le consommateur dispose d’un certain budget. Il doit effectuer les dépenses qui maximisent son utilité sous contrainte budgétaire ;

- le producteur dispose de moyens financiers limités. Il peut acquérir des facteurs de production en quantité limitée. En outre il utilise une certaine technique de production qui combine les facteurs pour réaliser une certaine quantité de biens ou de services. Il cherche à maximiser son profit sous la contrainte de sa fonction de production, Q = f (K, L)

- De même au niveau de l’économie toute entière, il s’agit d’atteindre une situation optimale pour la collectivité. Là encore, on fait l’hypothèse qu’il est possible de faire des choix rationnels et de déterminer un optimum (selon Pareto) sous contrainte des ressources disponibles dans l’économie.

Pour formaliser, on notera :

Déterminer le maximum de la fonction :

F { α1 . U1 (Q1) + α2 . U2 (Q2) + ... + α n . Un (Qn)}

sous la contrainte = Q1 + Q2 + ... + Qn = S (ressources de l’économie)

Une économie à n agents ;

U i ( Q i) : l’utilité procurée à l’agent i par le panier de bien Qi

α i : coefficient (entre 0 et 1) qui exprime l’importance accordée par la société à l’utilité de l’agent i.

A chaque série (α 1, ..., α n) correspond un ou plusieurs optimums parétiens

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