Medaf, modèle d'évaluation d'actifs financiers

Modele d’evaluation d’actifs financiers

Comme nous l'avons vu, Markowitz (1959) a développé la théorie du choix optimal d'un portefeuille par un individu sur la base du rendement espéré de la variance. Plus tard (1963) , Sharpe élabore une modèle de choix d'actifs basé sur des indices de risques comme les coefficients bêta.

Sharpe, Lintner et Mossin (1965) ont ensuite étudié les conséquences de ces théories pour mettre en place une théorie extrêmement simple permettant d'évaluer les coefficients bêta, les rendements espérés et les variances d'actifs financiers d'un portefeuille à partir de données statistiques sur le marché global et de la spécificité de la composition d'un portefeuille.

Cette théorie basée encore une fois sur le problème moyenne-variance est appelée "modèle d'évaluation des actifs financiers" (MEDAF) ou "capital asset pricing model" (C.A.P.M.) est donc un modèle très souvent utilisé, aussi bien par les praticiens que par les académiciens, pour évaluer les rendements anticipés d'équilibre sur n'importe quel actif risqué sur le marché.

Pour commencer, rappelons que nous avons vu plus haut lors de notre étude du return que le taux de rentabilité périodique (quotidien, hebdomadaire, mensuel, annuel) d'un actif se calcule comme suit :

(205)

avec qui est le prix d'un actif à la fin de la période t, le prix d'un actif à la fin de la période t-1 et finalement le flux monétaire payé par l'actif pendant la période de détention allant de t-1 à t.

Cette relation sert à calculer le "rendement réalisé" (ex post) d'un titre alors qu'au fait c'est le "rendement espéré" qui intéresse un investisseur donné.

À la date de la prise de la décision, le rendement que va réaliser l'investisseur en détenant un actif donné est incertain, c'est pour cette raison qu'on parle de rendement espéré: il s'agit d'un rendement que l'on cherche à évaluer et qu'on espère recevoir dans la prochaine période d'investissement.

Pour calculer le rendement espéré, comme nous l'avons déjà vu, il convient d'attribuer à chaque valeur possible du rendement une probabilité de réalisation, puis de calculer une moyenne pondérée de ces différentes valeurs possibles en utilisant les probabilités comme pondérations :

(206)

Or, il est clair que dans une économie donnée, l'investisseur sera tenté de détenir plusieurs actifs financiers et cherchera donc à composer des portefeuilles. Le rendement (moyen) espéré d'un portefeuille peut être calculé en utilisant la relation connue :

(207)

avec n qui est le nombre de titres inclus dans le portefeuille, le rendement de l'actif i inclus dans le portefeuille et la proportion de la richesse totale de l'investisseur investie dans l'actif i.

Le taux de rendement espéré est cependant insuffisant pour caractériser une opportunité d'investissement et il faut tenir compte également du risque, c'est à dire de la variabilité du rendement de cet investissement sur l'actif financier. La variance est comme nous l'avons déjà vu utilisée comme mesure du risque et donnée pour un actif financier par :

(208)

Soit :

(209)

Le calcul du risque d'un portefeuille fait donc intervenir deux concepts importants: la variabilité du rendement de chacun des actifs, mesurée par les variances de ces derniers, ainsi que les relations existantes entre les différents actifs composant le portefeuille.

La dépendance entre deux actifs est souvent mesurée, comme nous en avons déjà fait mention lors de notre étude des return, par la covariance ou encore le coefficient de corrélation linéaire.

La covariance entre deux actifs i et j se calcule comme suit :

(210)

Soit comme nous le savons si les probabilités sont équiprobables :

(211)

La covariance entre les rendements de deux titres peut être positive ou négative et sa valeur n'a aucune signification économique comme nous le savons (cf. chapitre de Statistiques).

Remarque: Rappelons que nous avons vu dans le chapitre de Statistiques que lorsque les rendements (valeurs) de deux actifs (variables aléatoires) varient dans le même sens (dans le sens contraire) la covariance sera positive (négative).

Le coefficient de corrélation entre deux actifs i et j quant à lui se calcule comme suit (cf. chapitre de Statistiques):

(212)

Une fois les variances et covariances des différents actifs calculés, nous serons en mesure de calculer la variance de rendement d'un portefeuille contenant n actifs. Cette variance est donnée par la relation suivante (cf. chapitre de Statistiques) :

(213)

ou écrit autrement :

(214)

La relation ci-dessus de la variance de rendement d'un portefeuille montre clairement que même dans le cas où les rendements des différents actifs détenus dans le portefeuille sont totalement non corrélés, la variance de ce dernier peut encore être réduite en ajoutant plus d'actifs.

Pour comprendre ceci, nous noterons que pour n actifs non corrélés, la variance se réduit à (puisque la covariance est alors nulle):

(215)

En simplifiant davantage, si toutes les variances sont supposées égales et si tous les actifs sont détenus dans les mêmes proportions (1/n), nous avons (cf. chapitre de Statistiques) :

(216)

Ainsi, quand n tend vers l'infini, la variance du portefeuille s'approche de zéro. Ainsi, si des risques non corrélés sont réunis en portefeuille, le risque total peut être éliminé par diversification. Dans le cas où les risques sont corrélés, la diversification ne permettra d'éliminer que les risques spécifiques aux actifs alors que le risque de marché continuera d'exister. Notons que la réduction du risque serait plus importante lorsque les différents actifs détenus sont négativement corrélés. En effet, plus le coefficient de corrélation entre

...