Le gradient

Le produit scalaire du gradient d’une fonction par un vecteur d’unité donnée

représente le taux de variation de la fonction le long de ce vecteur particulier.

Ce taux de variation s’appelle la dérivée directionnelle de la fonction,

Duφ(x,y,z) = u•∇φ.

A n’importe quel point particulier, le taux de variation maximum de la fonction

intervient dans la direction du gradient, c’est-à-dire le long d’un vecteur d’unité

u = ∇φ/|∇φ|.

La valeur de cette dérivée directionnelle est égale à la magnitude du gradient à

n’importe quel point Dmaxφ(x,y,z) = ∇φ •∇φ/|∇φ| = |∇φ|

L’équation φ(x,y,z) = 0 représente une surface dans l’espace. Il s’avère que le

gradient de la fonction à n’importe quel point de cette surface est normal à

cette surface. Par conséquent, l’équation d’un plan tangent à la courbe à ce

point peut être trouvée en utilisant la technique présentée au Chapitre 9.

La façon la plus simple d’obtenir le gradient est d’utiliser la fonction DERIV,

disponible dans le menu CALC, c'est-à-dire ,

Un programme permettant de calculer le gradient

Le programme suivant, que vous pouvez enregistrer dans la variable

GRADIENT utilise la fonction DERIV pour calculer le gradient d’une fonction

scalaire de X,Y,Z. Les calculs pour d’autres variables de base ne marcheront

pas. Si vous travaillez souvent en système (X,Y,Z), cependant, ce programme

facilitera vos calculs :

<< X Y Z 3 ARRY DERIV >>

Saisissez ce programme en mode RPN. Après avoir basculé en mode ALG,

vous pouvez activer la fonction GRADIENT comme dans l’exemple suivant :

Page. 15-3

Utilisation de la fonction HESS pour obtenir le gradient

La fonction HESS peut être utilisée pour obtenir le gradient d’une fonction

comme indiqué ci-dessous. Comme indiqué au Chapitre 14, la fonction HESS

prend comme donnée de base une fonction de n variables indépendantes φ(x1,

x2, …,xn) et un vecteur de fonctions [‘x1’ ‘x2’…’xn’]. La fonction HESS inverse

la matrice Hessienne de la fonction φ, définie comme la matrice H = [hij] = [∂φ/

∂xi∂xj], le gradient de la fonction par rapport aux n variables grad f = [ ∂φ/

∂x1, ∂φ/∂x2 , … ∂φ/∂xn] et la liste de variables [‘x1’

...