Le taux d'intérêt

Dossier 3 : Le taux d’intérêt

Partie I: Capitalisation et actualisation

1. Montant des intérêts rapportés par un placement de 17 200€ sur 1 an au taux annuel simple de 4,5%

Intérêts = VF-VA= VA(1+i*T)-VA= VA*(T*i)= 17 200 *1*0,045 =774€

1. Combien doit-on placer aujourd’hui pour obtenir 10 000€ dans 2 ans à intérêts simples au taux annuel de 3% ?
   
   On parle de taux d’intérêt simple parce que le taux s’applique toujours à la somme initiale et non à la nouvelle nomme acquise à la fin de l’année. A l’inverse, on parle de taux d’intérêt composé.
   
   Formule pour un placement à intérêts simples: VF(T)= VI(1+i x T)
   VF(T): valeur finale après T
   T: temps
   VI: valeur initiale
   i: taux d’intérêt
   
   Application:  10 000= VI (1+(0,03x2))
                           10 000/0,06= VI= 9433,96
2. On place 100€ à intérêts composés au taux de 5% par an. Combien d’années doit-on attendre pour disposer de 145€ ?
   
   L’année 1, on applique 5% aux 100€ i.e 5€.
   L’année 2, on applique 5% à 105, donc +5,25. Après deux ans, on a 110,25€.
   
   Formule pour intérêts composés: VF(T)= VI(1+i)T
   
   Exemple pour VF(2)= VI(1+i)(1+i). Or, (1+i)(1+i)= (1+i)2 
   
   Application: Afin de trouver T, on utilise les logarithmes qui pour rappel fait perdre un degré donc x devient +, ^devient x).
   145=100*(1+0,05)T
   ln 145= ln 100 + T* ln 1,05
   ⇒ T= (ln 145 - ln 100)/ ln 1,05= 7,62
   ⇒ Il faut donc placer pendant 8 ans ses 100€ à un taux s’intérêt composé de 5% pour disposer de 145€.
   
3. Un euro demain vaut-il davantage pour vous aujourd’hui si le taux d’intérêt est de 20% ou s’il est de 10% ?
   
   Réponse: 1%. Un euro actualisé à 20% sera plus faible que un euro actualisé à 10%.
   
   VF(1)= VI(1+i). On note VA pour valeur actualisée i.e valeur que l’on a pas encore, on cherche la valeur future actualisée.
   Pour 1€ de demain,   VI= VF/1+i
                                          VA1= 1€/1,01= 0,99€
                                          VA2= 1€/1,10=0,91€
                                          VA3=1€/1,20=0,83€
   
   Interprétation:
   
   Plus le taux d’intérêt est élevé, plus la préférence pour le présent est forte (je préfère 1€ d’aujourd’hui que 1€ de demain). Si le taux est de 20%, la somme vaudra plus pour l’individu au présent. Si le taux d’intérêt est plus faible, la préférence pour le présent sera moindre.
   
   Le taux d’intérêt peut être considéré comme mesurant la préférence pour le présent. ET donc, plus la préférence pour le présent est élevé, plus il faut un intérêt élevé pour compenser la renonciation à disposer d’une unité monétaire plutôt que de la placer. Un euro d’aujourd’hui vaut plus qu’un euro de demain. Un euro d’aujourd’hui vaut d’autant plus que je préfère aujourd’hui à demain.
   

1. 1 million € placé pendant 5 ans, qui nous donne 1 280 145,21€. Quel est le taux actuariel annuel i de ce placement ?
   
   Quand on parle de taux actuariel (souvent noté ia), on se réfère à la formule des taux composés. La valeur actualisée, c’est la valeur aujourd’hui d’un montant que je n’aurais que demain.
   
   Formule du taux d’actualisation: VA= VF/(1+ia)T
                                                                        ⇒ (1+ia)T= VF/VA
                                                 ⇒T√(1+ia)T= T√(VF/VA) ou (1+ia)Tx1/T= (VF/VA)1/T
                                                                        ⇒1+ia= (VF/VA)1/T
                                                                        ⇒ ia= (VF/VA)1/T -1
   
   (1 280 145,21/1 000 000)^1/5 - 1= 5,06%
   
   Taux à 10%, on cherche la valeur actualisée des intérêts versés que l’on recevra.
   
   Premier intérêt: 1100€. Sa valeur aujourd’hui donc VA= 1100/(1+i). On fait année 1+ année 2+ année 3.
   
   1100/1,10 + 1210/(1,10)^2 + 1331/ (1,10)^3= 3000
   
   

1. 1000€ aujourd’hui ou 50€ rente perpétuelle donc infinie à 5%.
   
   VA de 1000= 1000
   VA 50€ à 5%(utilisé comme taux actuariel)=
   
   Enoncé: Comparez 1000€ aujourd’hui (la valeur de la somme aujourd’hui, valeur actualisée de 1000€ aujourd’hui) vs. la valeur actualisée de 50€/an pour une période infinie, sachant que le taux d’intérêt du marché est égal à 5%.
   
   La valeur actualisée de 1000€ aujourd’hui, c’est 1000. On a besoin du taux d’actualisation pour la rente perpétuelle, on s’appuie sur le taux du marché.
   
   Application du théorème limite:
   VA= 50/(1+0,05)^1 + 50/(1+0,05)^2 + ….. + 50/(1+0,05)^T
   lim VA= 50/0,05= 1000
   
   Donc, on est indifférent entre l’un ou l’autre. Car inflation, 50€ dans 150 ans par exemple, ne vaut pas grand chose aujourd’hui.
   
2. Obligation émise au pair: le prix de vente de cette obligation au moment de son émission est égale à la valeur nominale. Ici, l’obligation est émise à 100€, situation qui se produit lorsque le taux d’intérêt correspond à celui du marché. Le montant de l’intérêt est fonction de celui sur le marché.
   Le taux facial: taux d’intérêt auquel donnera droit l’obligation. Ici, il correspond au taux d’intérêt en vigueur sur le marché, soit 3%.
   La fréquence des coupons: un par année, donc ici on en reçoit 3.
   Coupon= (taux d’intérêt obligation i.e taux facial) x valeur nominale
   Le marché primaire: lorsqu’on crée l’obligation, donc vendue pour la 1 fois.
   Le marché secondaire: produits de seconde main, d’occasion revendus avant la fin de leur échéance.
   

• Calculons la valeur de l’obligation immédiatement après l’émission sur le marché secondaire.
  Ici, le 1er coupon n’a pas encore été versé que l’obligation est revendue, mais à quel prix? Prix d’achat. Si les conditions du marché n’ont pas changé, pas de raison de changer le prix de l’obligation. On regarde les conditions du marché à ce jour, donc 3%, calcul de la valeur actualisée des gains qu’on aurait perçu à l’échéance des trois ans. C est la valeur du coupon. C= i xVN= 0,03x100=3
  Par calcul, V0= 3/(1+0,03)^1 + 3/(1+0,03)^2 + 3/(1+0,03)^3 +100/(1+0,03)^3= 3/(1+0,03)^1 + 3/(1+0,03)^2 + 103/(1+0,03)^3 = 100.
  
  En considérant la valeur future aujourd’hui, on vendra 100 l’obligation achetée 100; mais quel intérêt?  Si j’anticipe une baisse des taux d’intérêts, le placement est une bonne affaire. Si les taux ne changent pas, je récupère tout de même ma mise.
  
  V0=
  VA= C/(1+ir)1 + C/(1+ir)2 + (C+VN)/(1+ir)3
  VA= (1+if)VN/(1+ir)t
  
  r: taux d’actualisation, taux du marché aujourd’hui si rien n’est précisé.
  i: taux facial (si précision, +1 pt, ici donnerait 4%).
  Quand émise aux mêmes conditions de marché, émise forcément au pair et taux coïncident.
  [pic 1]
• On suppose que le taux de marché passe à 4%. Calculons la nouvelle valeur de l’obligation.
  V0= 97,22. Je perds de l’argent alors que les taux d’intérêts ont augmenté. Seul moyen de se débarrasser de cette obligation, c’est de baisser son prix en regardant la valeur actualisée (prix de revente) de l’obligation rapportant 3%. La valeur boursière de l’obligation émise à 3% va baisser. En revanche, les nouvelles obligations rapportent plus (4%).  Je la vends 97,22€, l’acheteur percevra cependant 100 à la fin de l’échéance.
  
  Conclusion. On a une relation inverse entre le prix de l’obligation et taux d’intérêt. Quand i augmente, la valeur des obligations déjà sur le marché, diminue.
  
  

1. On a trois coupons, deux déjà versés donc on est 1an avant l’échéance. On nous informe que le prix de revente est plus haut, i.e taux d’intérêts ont baissé. Donc le taux actuariel sera plus petit que 10%. N nominal.
   ia= (VF/VA)^1/t   -1
   
   V2
   p(t=2)=110= ixN + N / (1+r)^1= (0,1x100+100)/1+r= 110/1+r. Donc r=0%, i.e taux de marché à 0%, i.e  pour maturité à 1an, intérêts nuls. Obligation en concurrence, parce que les obligations primaires sont proposées à 0%, ce qui est absurde. Taux plancher pour une obligation, l’obligation est au-dessus du pair. En effet, le taux actuariel est en dessous du taux nominal, donc l’obligation se revend au-dessus du pair.
   
   
2. «Taux apparent»

• Taux apparent= C/P(t=2) avec C=ixN;  = 10/110=0,0909= 9,09%.
• Le taux facial était de 10%, le taux actuariel au moment où elle a été revendue est de 0%. Le principe de la rente perpétuelle est l’infini, donc on ne touche jamais le nominal. Or, dans ce cas, on est à 1 an de l’échéance. Donc non rente perpétuelle mais à échéance d’un an. L’usage du taux apparent est intéressant quand on est au début d’une obligation. Si le remboursement du nominal est proche, cela conduit à une erreur d’approximation importante. On cherche à approximer le taux actuariel, la rentabilité de l’opération. Il faut actualiser le taux facial avec les taux actuels au fur et à mesure. Ici, très mauvaise approximation puisqu’en réalité nous rapporte 0%. En général, r< taux apparent. Cette approximation est pertinente à échéance infinie, impertinente à échéance finie.
  Ainsi, pour calculer la rentabilité, il faut prendre en compte le taux actuariel et non le taux apparent.
  
  

1. Taux apparent= ixN/P= 0,1x10/100=10/100=10%= taux nominal donné dans l’énoncé.
   
   p(t=0)=N=ixN/1+r + ixN/(1+r)^2 +N/(1+r)^2= 10/1+r+110/(1+r)^2= 10/1,1+110/(1,1)^2= 100.  
   
   Les trois taux sont égaux. Explication: r= taux apparent=i, puisqu’on est au 1er jour de l’émission, obligation émise aux conditions du marché, sans prime de l’obligation i.e la rentabilité que l’on pourrait calculer au moment de l’acheter par le taux facial est effectivement le taux nominal r, pas encore eu de coupons versé.
   
2. TCN d’un nominal de 100 000€ à intérêts précomptés, taux de 6%, durée à courir de 60 jours i.e échéance en jours.
   Montant des intérêts précomptés  ? Taux annuel donné. Or, on est sur - d’un an, donc que donnent les 6% sur 60 jours ?  A intérêts précomptés i.e on touche les intérêts tout de suite, au jour de l’émission. On achète moins cher que le nominal, car intérêts soustraits et à l’échéance, on rembourse le nominal. On parle de flux initial et de flux terminal (nominal auquel le titre nous donne droit). Ici, FT=100 000€; F0= FT/1+rT =100000/ 1+(0,006 x 60/360)= 100000/1,1= 99 009, 90 € (montant de la transaction initiale)/
   I= FT-FO= 990,10€.
   
3. Euribor 3 mois de 3,70% → taux annuel.
   Spread de 30 pts de base, i.e un écart de +0,3% par rapport aux conditions du marché annuel. On propose donc au lieu du prix de cette marchandise, son prix annuel pour davantage de profits).
   P0= 2 000 0000/(1+(0,04x 91/360)= 2 000 000/1, 0101.
   Conclusion aux conditions du marché + 10 pts de base. P0= 1 980 002 €, prix de souscription. Ainsi, P0= 1 980 002 et I= 19998€. On reprend notre flux terminal. P1= 2 000 000/1+ 0,046x61/360.
   Nouvelles conditions: P0= 194 532.
   L’E gagne environ 4%, soit 4500€. Calculer rentabilité de l’échéance. Rentabilité (R)= P1- P0 /P0 = 4530/21 980 002= 0, 00229= 0,229%. Il s’agit de la rentabilité mensuelle. Pour la comparer avec sa rentabilité annuelle, on doit avoir une rentabilité annuelle. Ainsi, on multiplie par 12, ce qui nous donne: R mensuelle x12= R annuelle= 0,229% x12= 2,7481%, ce qui n’est pas rentable vu les conditions du marché, notamment taux Euribor de 3,70% et 4,30% Euribor 2. La société Y est affectée par le risque de taux, ce n’est pas pour autant une mauvaise opération (pas de perte, mais on aurait pu rapporter plus en tenant les trois mois).
   

1. Evolution des taux réels a posteriori du Livret A depuis 1966, i.e on prend en compte le taux d’intérêt rapporté - ce qu’on a perdu par l’inflation (taux réel), et a posteriori puisque calculé après-coup, une fois les taux d’inflations connues. On connaît aussi le taux nominal affiché du livret A de façon à calculer le taux réel du livret A.  Comment calculer le taux réel ? πa: taux d’inflation anticipé.
   
   Relation d’Irving Fisher, utilisée pour le calcul du taux réel exact: 1+i= (1+r)x(1+πa)
   Formule approchée: r= i-πa
   
   De 1968 à 1984, on constate un taux réel négatif qui traduit le fait que l’inflation soit plus élevée que le taux nominal. Période des chocs pétroliers, et forte inflation donc taux réel négatif. En 1980, on est à 6,50% affiché pour le Livret A, puis 8,50% donc taux élevés mais pas suffisamment pour couvrir l’effet de l’inflation. Fin des 80s et 90s, on retrouve des niveaux plus corrects (taux réels aux alentours de 2%), puis taux proches de 0 depuis 1999.  cf notes sur fiche TD.
   
   Taux d’intérêt réel négatif: perte d’argent ?? i.e diminution de son pouvoir d’argent. On aurait pu conserver en liquidité ou consommer. La meilleure solution si on ne veut pas consommer cette somme, il faut placer la somme. Cependant, pour éviter toute perte, mieux vaut consommer. Les épargnants perdent en pouvoir d’achat alors que les emprunteurs s’enrichissent avec les taux nominaux qui augmentent plus vite que l’inflation (gagnants dans les années 70). Intuitivement, si j’emprunte 1 euro aujourd’hui, demain le remboursement permet d’acheter - de choses, vaut moins du fait de l’inflation. Valeur d’achat remboursée moins grande que ce qu’on nous a prêté.
   
   Comment les autorités ont-elles pu tolérer un taux réel négatif ? Inciter à la consommation, ou simple erreur. Ici, en effet ils ont fait une erreur sur l’inflation anticipée donc nominal pas assez fort. Le taux du livret A est dit taux administré car choisi par l’Etat et ses administrations. Depuis 2000s, ce taux suit automatiquement une indexation sur l’inflation constatée passée. Impact sur le taux réel: reste positif d’une part et d’autre part, on constate qu’il est très faible depuis les années 2000 car ajusté au plus proche de l’inflation, juste censé conserver sont pouvoir d’achat (pour le bon père de famille et non pour objectif de spéculation).
   
2. Les taux d’intérêts sont effectivement plus bas dans les années 80s que dans les années 70s, mais si on regarde les taux réels, fin 80s on est à 1% ou plus des taux (plus d’inflation dans 70s que dans 80s).

p) Si on a des taux très bas, cela veut dire que c’est moins cher donc les obligations sont plus demandées. C’est l’effet balançoire. Il y a un excès de demande gigantesque, en raison de la demande et de l’offre de titres. Du côté de la demande de titres, elle est élevée car il y a beaucoup de liquidités. Du côté de l’offre de titres, il y a une raréfaction relative de l’offre en raison des mesures de quantitative easing menées par les BC qui ont racheté une partie des obligations. Mais le fait qu’on ait un maintient des taux bas pendant plusieurs bas n’est pas accidentel mais c’est le fait que les agents qui achètent ces obligations anticipent qu’ils pourront les revendre à un prix plus élevé que les cours continueront à augmenter et donc que je pourrai faire une plus-value, ces anticipations sont soutenues par la politique monétaire de la BC de prêteur de dernier ressort.

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