Emmanuel Kant et les mathématiques

En mathématiques, on appelle conjecture, une règle qui n'a jamais été prouvée. On a vérifié cette règle sur beaucoup d'exemples mais on n'est pas sûr qu'elle soit toujours vraie.

Mais pourquoi la conjecture de Fermat a-t-elle été la plus célèbre d'entre toutes ?

Tout commence par le théorème de Pythagore. Encore lui !

Nous savons qu’il existe des solutions à l’équation x2 + y2 = z2. Ce sont les longueurs des côtés d’un triangle rectangle, aussi appelés triplets pythagoriciens. Par exemple, (3, 4, 5) en est un.

Le mathématicien français Pierre de Fermat (1601 ; 1665) se pose alors la question suivante :

si l’on remplace les carrés par des cubes, existe-t-il des solutions non nulles à l’équation x3 + y3 = z3 ?

Essayons par exemple 33 + 43 = 91, mais 91 n’est pas un cube …

Fermat en arrive à affirmer que ce n’est pas possible pour les cubes ni même pour aucune puissance strictement supérieure à 2.

« Un cube n'est jamais la somme de deux cubes, une puissance quatrième n'est jamais la somme de deux puissances quatrièmes et plus généralement aucune puissance supérieure à 2 n'est la somme de deux puissances analogues. »

Et Fermat ajoute :

« J’ai trouvé une merveilleuse démonstration de cette proposition, mais la marge est trop étroite pour la contenir. »

Affirmation que Fermat, farceur ou vantard, n’est très certainement jamais arrivé à démontrer !!!

Voici maintenant la conjecture de Fermat exprimée dans le langage d’aujourd’hui :

« L’équation xn + yn = zn n’a pas de solution en entiers strictement positifs, pour tout entier n strictement supérieur à 2. »

Fermat établira tout de même une preuve pour n = 4.

Plus tard, le suisse Leonhard Euler (1707 ; 1783) propose une démonstration pour n = 3. En 1828, l’allemand Peter Lejeune-Dirichlet (1805 ; 1859) la démontre pour n = 5, puis en 1840, Gabriel Lamé (1795 ; 1870) et Joseph Liouville (1809 ; 1882) pour n = 7.

La course folle après la conjecture de Fermat est lancée. Les plus grands mathématiciens et savants s’affrontent pour être le premier à venir à bout de cette étonnante conjecture à l'énoncé si simple mais dont la démonstration semble inaccessible. Il faut dire que des récompenses très appréciables sont promises. L’Académie des sciences de Paris promet une médaille d’or et une somme de 300 000 francs or. La Société royale de Göttingen offre 50 000$ (actuel) correspondant au prix Wolfskehl crée en 1908.

C’est en 1993 que la conjecture défraie la chronique. Les médias de toutes parts annoncent la fin de ce grand mythe des mathématiques, qui résistait depuis plus de 350 ans à toutes les démonstrations.

Le héros s’appelle Andrew Wiles, un anglais né à Cambridge

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