Une suite numérique est une fonction de IN vers IR

Suites numériques

        Définition        Une suite numérique est une fonction de IN  vers IR :  

        Notations - Vocabulaire:
                ∙ L'écriture fonctionnelle s(n) est peu utilisée pour désigner l'image de l'entier naturel n par la fonction s. On lui préfère la notation indexée (ou indicée): sn . Avec cette notation l'image de 0 est s0.
On appelle s(0) = s0 , le premier terme de la suite s . De même, s(1) = s1 est le second terme de la suite s.

                ∙ De façon générale:
                        sn est le terme d'indice n ou de rang n de la suite s.
                        On dit aussi que sn est le terme général de la suite s.
        ∙ On écrit aussi s = (sn) , pour indiquer qu'il s'agit de la suite dont le terme de rang n est sn où n∈ IN .
                Remarque: il arrive parfois que le premier terme d'une suite (sn) ne soit pas s0 .
        Par exemple :  n'existe pas pour n = 0. La suite commence au rang 1. On écrira alors: (sn)n∈ IN       *.
         n'existe pas pour n = 0, ni pour n = 1. La suite commence au rang 2. Dans tous les cas de ce type-là, on précisera le sous-ensemble de IN  où la suite est définie: Ici n ≥ 2.

        Diverses manières de définir une suite:

                        1) Suites définies par une égalité fonctionnelle:

        Une suite numérique étant une fonction définie sur IN , c'est donc la restriction à  IN  d'une fonction définie sur IR  ou un sous ensemble de IR  contenant IN .
        Par exemple, la suite un = n2 (n∈ IN ), est la restriction à IN  de la fonction f définie sur IR  par f(x) = x2 . L'intérêt de cette remarque réside dans le fait que les propriétés déjà étudiées pour les fonctions de la variable réelle seront utilisables pour les suites!

                        2) Suite définie par une formule de récurrence:

        La spécificité des suites sur les fonctions de la variable réelle, est que, pour tout entier naturel n, son image sn étant "numérotable", on peut définir le terme sn+1 en fonction du terme précédent sn par une formule appelée formule de récurrence.
        Plus précisément, la suite sn sera définie par récurrence par:
                - Son premier terme s0 .
                - Une égalité reliant deux termes consécutifs quelconques de la suite: sn+1  = f(sn )

        Par exemple, la suite définie par son premier terme u0 = 5 et la formule de récurrence vérifiée pour tout entier n: un+1 = .

        Suites arithmétiques et géométriques:
                n étant un entier naturel quelconque:

        Voir aussi livre page 10.

        Exemples:
        - La suite des entiers naturels est la suite arithmétique de premier terme 0 et de raison 1.
        - La suite des entiers naturels pairs est la suite arithmétique de premier terme 0 et de raison 2.
        - La suite des entiers naturels impairs est la suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 2.
        - La suite définie par la formule:  Un = an + b  (fonction affine de n) est la suite arithmétique de premier terme U0 = b et de raison a.
        - La suite constante de terme général Un = 2 est la suite géométrique de premier terme 2 et de raison 1.
        - La suite de terme général Un = (−1)n est la suite géométrique de premier terme U0 = 1 et de raison −1.
        - La suite des puissances d'un nombre réel a non nul, de terme général Un = an est la suite géométrique de premier terme U0 = 1 et de raison a.
        - La suite définie par la formule: Un = a bn  (fonction exponentielle de n) est la suite géométrique de premier terme U0 = a et de raison b (b réel non nul).

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