Un évènement de probabilité infiniment faible peut-il être réalisé ?

Question : Un évènement de probabilité infiniment faible peut-il être réalisé ?

Cette question philosophique a été illustrée par Borel en 1909 en prenant l’image d’un singe dactylographe. Ce singe, que l’on nomme Ragavan, tape au hasard sur le clavier d’une machine à écrire, il pourra écrire tous les livres de la Bibliothèque nationale de France avec une probabilité égale à 1, cela signifie que c’est un évènement certains. Bien entendu, ce singe n’est  pas un singe réel, mais la métaphore d’une machine qui produirait des lettres dans un ordre aléatoire, comme un ordinateur. Nous nous efforcerons de comprendre ce propos à l’aide d’un calcul de probabilité en sachant qu’un clavier comporte 50 touches et on souhaite reconnaître le mot ALÉATOIRE.

Tout d’abord, à l’aide de ce contexte, la problématique du singe peut s’apparenter à une loi binomiale. Une loi binomiale est une loi de probabilité définie sur l’ensemble N qui donne le nombre de succès de l’expérience. La variable aléatoire X suit la loi binomiale de Bernoulli de paramètres n et p. P(X = k) = (nk​)p^k(1−p)^n−k. n étant le nombre de chemin possible, p est la probabilité de succès et k le nombre de succès. Ici, le problème peut être représenté par un schéma de Bernoulli composé de 50 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes dont le succès est « le singe a appuyé sur la bonne lettre » dont la probabilité est 1/50. Alors, X suit la loi binomiale de paramètre n=50, p=1/50 et k le nombre de lettre total qu’il doit écrire.

Ensuite, il y a également dans ce contexte une autre loi de probabilité qui peut être utilisé. On considère une épreuve de Bernoulli, c’est-à-dire une expérience aléatoire à deux issues dont la probabilité d’un succès est égal à p. On répète cette expérience jusqu’à obtenir le premier succès. Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre d’essais nécessaire jusqu’au premier succès. X suit la loi géométrique de paramètre p. P(X = k) = p(1 – p)^k-1. X suit la loi géométrique de paramètre p. E(X) = 1/p. L’espérance est la valeur qu’on s’attend à trouver en moyenne si l’on répète un grand nombre de fois l’expérience.

Nous avons vu différente loi de probabilité, avant de les appliquer à l’échelle de la bibliothèque de France, appliquons le à l’échelle d’un mot, le mot ALEATOIRE. Dans le mot aléatoire il y a 9 lettres, dans la loi binomiale, il faut donc que k soit égale à 9. En calculant à l’aide de la loi binomiale, on observe que le résultat pour 9 réussite successive, est égale à environ 5,6*10^-7. Ensuite calculons la même probabilité d’observé ce même mot mais cette fois ci avec la loi géométrique. En calculant avec cette loi, nous observons un résultat égal à 0,017, c’est-à-dire qu’on a une probabilité de 0,017 d’observer le premier succès. On peut également calculer l’espérance grâce à cette loi de probabilité. On trouve une espérance égale à 50, c’est-à-dire qu’en moyenne avant d’avoir le 1er succès à l’échelle d’une lettre, il faut réessayer 50 fois, donc à l’échelle dut mot aléatoire, il faudrait en moyenne taper 1,93*10^15 fois sur le pc. Toutes ces probabilités sont faibles. Mettons les en pratique, disons que Ragavan tape une lettre toutes les minutes, il faudrait donc 1,93*10^15 minutes pour trouver le mot aléatoire, si on convertit en jour, cela équivaudrait à plus de 10 milliards de jour. A cette vitesse, le singe mourra avant qu’il ait écrit le mot aléatoire ou même la bibliothèque de France, cette probabilité est donc impossible à observer de son vivant. Mais, Ragavan est la métaphore d’un ordinateur, en réalité, il peut taper une lettre aléatoirement plus rapidement que ça, et si on accélère la vitesse de frappe de l’ordinateur on aura alors l’opportunité d’observer ce phénomène.

...