L'intégration

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MATHEMATIQUES BTS BIOTECHNOLOGIES :

Intégration

Matthieu SCHWARTZ

2020/2021

[pic 1]

1. Rappels de cours

1. : Généralités

Si f est une fonction continue et positive sur l’intervalle [a ;b], alors l’aire 𝓡 représentant la région délimitée par la courbe ➀f représentative de la fonction f, l’axe des abscisse et les droites d’équations x=a et x=b est égale à :

𝑏

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑎

Si f est une fonction continue et négative sur l’intervalle [a ;b], alors l’aire 𝓡 représentant la région délimitée par la courbe ➀f représentative de la fonction f, l’axe des abscisse et les droites d’équation x=a et x=b est égale à :

𝑏

− ∫  𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑎

Soit f et g deux fonctions continues sur l’intervalle [a ;b], alors l’aire 𝓡’ représentant la région délimitée par les courbes ➀f , ➀g, l’axe des abscisse et les droites d’équation x=a et x=b est égale à :

𝑏

∫ ∣ 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) ∣ 𝑑𝑥

𝑎

Valeur moyenne : La valeur moyenne de la fonction f sur l’intervalle [a ;b] est le nombre :

1        𝑏[pic 2][pic 3]

1. : Intégrales remarquables :

𝜇[𝑎,𝑏](𝑓) = 𝑏 − 𝑎 ∫  𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑑

• Pour tout réels k, c et d, ∫𝑐

𝑎

• Pour tout réels a positif, ∫

𝑘𝑑𝑥 = 𝑘(𝑑 − 𝑐)

√𝑎² − 𝑥²𝑑𝑥 = 𝜋𝑎2[pic 4][pic 5]

−𝑎        2

• Si f est une fonction paire et si f est continue sur l’intervalle [-a ; a], alors :

𝑎        𝑎

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 2 ∫  𝑓(𝑥)𝑑𝑥

−𝑎        0

• Si f est une fonction impaire et si f est continue sur l’intervalle [-a ; a], alors :

1. : Propriétés de l’intégration

𝑎

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0

−𝑎

f et g deux fonctions continues sur un même intervalle I. a, b et c sont trois réels de I.

𝑏

∫  𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = [𝐹(𝑥)]𝑏 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)        𝑜𝑢 𝐹 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑖𝑡𝑖𝑣𝑒 𝑑𝑒 𝑓 𝑠𝑢𝑟 𝐼.[pic 6]

𝑎

𝑎

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0

𝑎

𝑏        𝑎

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = − ∫  𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑎        𝑏

𝑏        𝑐        𝑏

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫  𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑎        𝑎        𝑐

Linéarité :

𝑏

𝑏        𝑏

∫ (𝛼𝑓 + 𝛽𝑔)(𝑥)𝑑𝑥 = 𝛼 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 𝛽 ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥

𝑎        𝑎        𝑎

Conservation de l’ordre de l’intégration :

Si pour tout réel x de l’intervalle [a ; b], 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥), alors ∫𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≤ ∫𝑏 𝑔(𝑥)𝑑𝑥

𝑎        𝑎

Inégalité de la moyenne : Puisque f est continue sur l’intervalle [a ; b], f possède un minimum m et un maximum M sur [a ; b]. Avec la formule de l’égalité de la moyenne vue précédemment on aura donc :

1. : Primitives

𝑏

𝑚(𝑏 − 𝑎) ≤ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≤ 𝑀(𝑏 − 𝑎)

𝑎

La fonction f étant définie sur l’intervalle I, F est une primitive de f sur I si et seulement si les deux conditions suivantes sont respectées :

• F est dérivable sur I.

- ∀ x ∈ I, F’(x) = f(x)

Toute fonction continue et dérivable sur un intervalle I possède une primitive sur I.

Théorème I.4.1 : f est une fonction continue sur l’intervalle I et a un réel de I.

La fonction 𝐹(𝑥) = ∫𝑥 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 est la primitive de la fonction f sur I qui s’annule en a. Ce qui signifie que F est dérivable sur I, F’(x)=f(x) et F(a)=0.[pic 7]

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