En quoi l’hôtel d’Hilbert permet d’appréhender les ensembles et les notions de l’infini ?

Hypothèse du continu -> Paul Cohen

Infini en puissance / infini en acte

        De Pythagore à Cédric Villani, en passant par Leibniz, Newton et d’autres piliers des mathématiques, l’infini n’a cessé de susciter la fascination et la controverse dans le domaine scientifique. Pourtant, alors que l’infini est très présent dans les programmes de mathématiques au lycée, notamment dans les calculs de limites, ce n’est que depuis la fin du XIXe siècle, avec la théorie des ensembles de Goerg Cantor qu’on utilise l’infini comme une entité propre.

En quoi l’hôtel d’Hilbert permet d’appréhender les ensembles et les notions de l’infini ?

J’aborderai dans un premier temps j’aborderai les notions d’ensemble, en s’appuyant sur les travaux de Cantor, pour ensuite illustrer tout ça avec l’hôtel d’Hilbert.

        Un ensemble, c’est un groupe, une collection de… choses : ça peut être des nombres, des figures géométriques, des livres ou n’importe quoi d’autre. Ce qui va nous intéresser c’est comparer les ensembles entre eux, comment savoir si deux ensembles contiennent le même nombre d’éléments, appelé aussi cardinal. On pourrait compter, mais pour des ensembles contenant un nombre infini d’éléments, cela risque d’être compliqué. L’outil qu’on va utiliser, c’est la bijection : c’est-à-dire faire correspondre chaque élément de l’ensemble de manière exclusive, à l’autre. Si on arrive à tous les assembler, les deux ensembles seront de même taille, on dit qu’ils sont équipotents, ou de cardinal égal. Par exemple, prenons d’une part l’ensemble des entiers naturels noté N, c’est-à-dire tous les nombres entiers à partir de 0 jusqu’à l’infini. D’autre part prenons Z, l’ensemble des entiers relatifs, c’est le même ensemble que N, mais auquel on ajoute les entiers négatifs. Et bien on se rend compte qu’on arrive effectivement à associer, avec des détails que je passerai à l’oral mais que j’ai pris le soin de montrer dans le document 1, chaque élément de N à Z, ce qui est assez contre intuitif, puisqu’on ajoute une infinité de terme à N, mais son cardinal, sa taille reste la même. Il y a-t-il un ensemble plus grand que N ? Et bien oui, l’ensemble des réels, noté R.  D’ailleurs, l’ensemble des réels compris entre 0 et 1, est aussi grand que R lui-même. Il y a donc bien plus, de manière infinie, de réels entre 0 et 1, que d’élément dans N tout entier. Cela se démontre avec la diagonale de Cantor, que j’aborderai plus tard.

Cantor s’est également penché jusqu’à la fin de sa vie sans résultat, à déterminer s’il y a ou non un ensemble intermédiaire compris entre N et R. C’est ce qu’on appelle l’hypothèse du continu, qui sera qualifiée par Kurt Gödel comme non décidable quelques décennies plus tard, il démontre de façon rigoureuse qu’il n’est pas possible de prouver cette hypothèse.

Dans son sillage, de nombreux mathématiciens reprirent ses travaux sur la théorie des ensembles tels que Richard Dedekind ou David Hilbert qui prononce en hommage à Cantor : « La théorie des ensembles, ce paradis dont nul ne doit pouvoir nous chasser ». C’est ainsi que dans une conférence, le mathématicien allemand illustre le propos de Cantor, avec l’Hôtel d’Hilbert.

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