Cours Khi deux

                                            Test du  ( Test du Khi Deux ) [pic 1]

Les tests du Khi-deux sont basés sur la statistique de  proposée par Karl Pearson. L’objectif de ces tests est principalement de comparer des distributions entre elles. Ces tests peuvent être appliqués à des variables de nature qualitative ou quantitative [pic 2]

L’avantage du test khi-deux est sa grande diversité d’utilisation :

• Test d’adéquation, d’ajustement, de conformité à une loi ou une famille de lois définies à priori. Exemples: -La taille d’une population suit-elle une loi normale ?
                   - Décider si des sacs de bonbons ont le même nombre d'éléments de chaque saveur ou pas
• Test d’indépendance
  Exemples : - La couleur des cheveux est elle indépendante du sexe ?
                    - Décider si la décision des spectateurs de films d'acheter des snacks est liée au type de film qu'ils ont l'intention de voir
                   
• Test d’homogénéité : deux séries de données sont-elles identiquement distribuées?
  

I-Test de conformité, d’ajustement,d’adéquation 

Une population mère avec un échantillon.
➢ L’objectif : comparer ou ajuster une distribution observée sur un échantillon à une distribution théorique 

                       (Normale,poisson, binomiale ou quelconque).

➢ Choix des hypothèses : 𝐻0: la distribution observée est conforme à la distribution théorique
                                         𝐻1 : la distribution observée est différente de la distribution théorique

Exemple : Un hôtel examine les évaluations que lui ont donné 500 cents internautes.

La note moyenne est de  étoiles et l’écart-type est de .
Le directeur de l’hôtel est sceptique et soupçonne ses concurrents d’évaluer négativement son hôtel.[pic 3][pic 4]

Peut-on considérer que la répartition des notes suit une loi Normale N(3,45 ; 1,02).

Remarque 1 : 
« On réalise une observation sur un échantillon, ce qui donne les effectifs observés, notés Oi  
(O1=15, O2=75,…).Chaque effectif correspond aux observations réalisées sur l' échantillon comme indiqué dans le tableau. ». La ligne du nombres d’internautes provient du sondage effectué sur le terrain.
On appelle ces effectifs, les effectifs observés et on les note Oi  ( O1=15, O2=75,…).

Objectif :
Comparer les effectifs observés sur l’échantillon avec les effectifs théoriques ou calculés à l’aide de la loi théorique : .[pic 5]

1-Choix des hypothèses :

L’hypothèse H0 : La distribution de l’échantillon est conforme à celle de la population.
                            Échantillon représentatif de la population :les différences entre les observations réalisées sur

                             l’échantillon et les résultats obtenus par le calcul théorique ne sont pas assez importantes 

                             pour être significatives.

L’hypothèse alternative H1 : L’échantillon n’est pas représentatif de la population.

Si la répartition suivait « vraiment » la loi Normale N(3,45 ; 1,02), quels seraient les effectifs ?
Ces effectifs s’appellent les effectifs théoriques, notés Ci  .

2-Calcul des effectifs théoriques

On détermine d’abord les fréquences théoriques (= probabilités théoriques) à l’aide de la calculatrice en supposant que l’on est en présence d’une loi Normale N(3,45 ; 1,02).
Ensuite, il suffira de multiplier les résultats par l’effectif total N= 500 pour obtenir les effectifs théoriques :
                                        
[pic 6]

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