Activité sur les Suites

           Les suites Partie 1  -  Activités    [pic 3][pic 4][pic 1][pic 2]

Activité 1 : L’escargot de Pythagore

On considère un triangle 𝑂𝐴0𝐴1 rectangle isocèle en 𝐴0 tel que 𝐴0𝐴1 = 1. On construit le triangle 𝑂𝐴1𝐴2 rectangle en 𝐴1 tel que 𝐴1𝐴2 = 1, puis le triangle 𝑂𝐴2𝐴3 rectangle en 𝐴2 et tel que 𝐴2𝐴3 = 1.
On poursuit le processus et on note, pour tout entier naturel 𝑛,  𝑑𝑛 = 𝑂𝐴𝑛 . On a donc 𝑑0 = 1.

1. Calculer les valeurs exactes de 𝑑1, 𝑑2, 𝑑3.
2. Donner l’expression de 𝑑𝑛+1 en fonction en 𝑑𝑛  ; justifier. [pic 5]
3. Peut-on calculer directement  ? Expliquez. [pic 6]
4. Compléter le programme Python afin qu’il affiche toutes les valeurs de 𝑑𝑛 pour une valeur de 𝑛 donnée par l’utilisateur.
5. Conjecturer l’expression de   en fonction de n. [pic 7]
6. Déterminer, à l’aide du mode suite, les valeurs de  jusqu’à .[pic 8][pic 9]

Activité 2 : Un placement financier

Le 1er Janvier 2022, Mme Dupont place 1 000 € sur un compte rémunéré à 4 % d’intérêts annuels. (À chaque fin d’année, le capital présent depuis le 1er Janvier est augmenté de 4%.)

Chaque 1er Janvier à partir de 2023, elle dépose 100 € supplémentaires sur le livret.

On note 𝐶0 le capital de départ en euros. Puis, pour tout entier naturel 𝑛, on note 𝐶𝑛 le capital à l’année 2022 + 𝑛 après le dépôt de 100 €.

Déterminer la première année à partir de laquelle Madame Dupont disposera d’au moins 3 000 €.

(Plusieurs démarches sont possibles ; après un temps de recherche, rédigez/justifiez la vote.)

           Les suites Partie 1  -  Activités    [pic 12][pic 13][pic 10][pic 11]

Activité 1 : L’escargot de Pythagore

On considère un triangle 𝑂𝐴0𝐴1 rectangle isocèle en 𝐴0 tel que 𝐴0𝐴1 = 1. On construit le triangle 𝑂𝐴1𝐴2 rectangle en 𝐴1 tel que 𝐴1𝐴2 = 1, puis le triangle 𝑂𝐴2𝐴3 rectangle en 𝐴2 et tel que 𝐴2𝐴3 = 1.
On poursuit le processus et on note, pour tout entier naturel 𝑛,  𝑑𝑛 = 𝑂𝐴𝑛 . On a donc 𝑑0 = 1.

1. Calculer les valeurs exactes de 𝑑1, 𝑑2, 𝑑3.
2. Donner l’expression de 𝑑𝑛+1 en fonction en 𝑑𝑛  ; justifier. [pic 14]
3. Peut-on calculer directement  ? Expliquez. [pic 15]
4. Compléter le programme Python afin qu’il affiche toutes les valeurs de 𝑑𝑛 pour une valeur de 𝑛 donnée par l’utilisateur.
5. Conjecturer l’expression de   en fonction de n. [pic 16]
6. Compléter, à l’aide du mode suite, les valeurs de  jusqu’à .[pic 17][pic 18]

Activité 2 : Un placement financier

Le 1er Janvier 2022, Mme Dupont place 1 000 € sur un compte rémunéré à 4 % d’intérêts annuels. (À chaque fin d’année, le capital présent depuis le 1er Janvier est augmenté de 4%.)

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