Risque et décision

Pourquoi étudier la notion de risque?

• La plupart des décisions s’effectuent en situation d’incertitude par rapport à une ou plusieurs variables.
• Les domaines concernés sont nombreux : Santé, Environnement, Education, Epargne, Assurance, Jeu, Investissement. Finance.
• Il est nécessaire de distinguer les notions de risque et d’incertitude Knight → le risque est probabilisable, l’incertitude ne l’est pas.

La notion de risque

• Le risque est une distribution de probabilité, continue ou discrète, connue et unique sur des états de la nature (valeurs monétaires, tirages, etc.).
• Une autre définition peut-être l’actualisation bayésienne où les distributions ex post sont multiples.

Pourquoi ne pas tout simplement utiliser l’espérance mathématique ?

• C’est ce que préconisaient Pascal et Fermat (découverte de la “théorie des probabilités” en 1654) ⇒ chacun aurait donc une estimation identique de toute loterie.
• La notion EM a l’intérêt d’être unique et incontestable.
• Elle peut être calculée pour toute distribution parfaitement connue.
• Nous allons voir que généralement la valeur d’une loterie pour l’individu ne peut pas être approchée uniquement par EM

Le paradoxe de Saint-Pétersbourg

“Une pièce non truquée est lancée jusqu’à ce que le côté face apparaisse. Si le côté face apparaît au lancé n, alors le paiement est 2n−1 ducats. Combien suis-je prêt à payer pour jouer à ce jeu ?”

EM du jeu est :[pic 1]

Bernoulli apporte deux idées qui remettent en cause la pertinence de l’utilisation de EM :

• L’utilité dépend du niveau de richesse
• L’utilité marginale est décroissante  Bernoulli propose :[pic 2]

Le(s) bateau(x) de Sempronius

Exemple donné par Bernoulli “Sempronius possède 4000 ducats de biens à son domicile et 8000 ducats de bien dans un pays étranger. Les biens ne peuvent être acheminés qu’au moyen d’un bateau qui, une fois sur deux, n’arrive pas à bon port”

[pic 3]La notion d’espérance d’utilité

Bernoulli propose de retenir : [pic 4]

Et de retenir une fonction logarithme (utilité de Bernoulli), toute fonction croissante concave est satisfaisante. L’utilité renvoie à la satisfaction de l’individu.

Cependant, il semble que la clé de la décision soit dans la prise en compte de la variance de la distribution.

Pourquoi ne pas retenir une approche moyenne-variance ?

On considère une fonction d’utilité de la forme : [pic 5]La fonction d’utilité est croissante avec l’espérance de la richesse et décroissante avec sa variance. Très utilisée en finance et fonctionne bien pour de “petits” risques.

Néanmoins, quel choix entre les deux loteries suivantes ?

• A ≡ (−1$, 99, 9%; 999$, 0, 1%)
• B ≡ (1$, 99, 9%; −999$, 0, 1%)

EM et la variance sont est identique.  La différence est dans le moment de troisième ordre (skewness). La loterie A a une très forte probabilité d’occurrence à gauche et la loterie B a une très forte probabilité d’occurrence à droite.  Le quatrième ordre (kurtosis) peut aussi être pris en compte.

La notion de loterie

Nous représentons les variables aléatoires par le biais de loteries, qui peuvent être décrites par le vecteur X avec :        [pic 6]

Toute v.a discrète peut être représentée par une loterie.                                                Une loterie composée correspond à une loterie dont les issues sont elles-mêmes des loteries. L’utilité retirée d’une loterie ne dépend pas de sa forme (loterie simple ou composée) → elle ne de ́pend que des issues et des probabilités.

Les axiomes de la théorie de l’espérance d’utilité

• Axiome 1 relation complète Pour toutes loteries p et q, on a p ≽ q ou q ≽ p
• Axiome 2 transitivité  Pour toutes loteries p, q et r, si p ≽ q et q ≽ r, alors p ≽ r.
• Axiome 3 indépendance  Pour toutes loteries p, q et r et toute constante α ∈ [0, 1] alors si p ≽ q alors αp + (1 − α)r ≽ αq + (1 − α)r
• Axiome 4 continuité Pour toutes loteries p, q et r si p ≻ q ≽ r ou p ≽ q ≻ r alors il existe α ∈ [0, 1] tel que αp + (1 − α)r ∼ q

Ces axiomes permettent de définir une fonction d’utilité de type von Neumann et Morgenstern

Le théorème de l’espérance d’utilité

Théorème : Les 4 axiomes permettent d’énoncer le résultat suivant :

Pour toute relation de préférence satisfaisant les axiomes 1 a` 4, il existe une fonction d’utilité U à valeur dans R, telle que :

1. p≽q ssi U(p)≥U(q)
2.  ∀p, q et α ∈[0,1] on a : U(αp+(1−α)q)=αU(p)+(1−α)U(q)

La fonction alors définie est de type VNM

La fonction d’utilité de Von Neumann et Morgenstern

• Il existe donc une fonction d’utilité  U(.) représentant la satisfaction de l’individu faisant face à une loterie.
• Cette fonction est linéaire en probabilité.
• On a : p ≽ q ssi U(p) ≥ U (q) avec [pic 7]

L’individu classe les loteries en choisissant celle qui maximise EU liées aux issues possibles.

Le paradoxe d’Allais

• Le théorème de l’EU dépend fortement de l’axiome d’indépendance (linéarité dans les probabilités)
• Néanmoins, c’est cet axiome qui est le plus souvent remis en cause dans la littérature.
• Le Paradoxe d’Allais remet en cause l’axiome d’indépendance par des résultats “expérimentaux”.

Caractère normatif de l’axiome (cf. théorème de représentation Savage) → les individus “devraient” se comporter en suivant cet axiome...

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