Hypothèse du revenu permanent

Corrigé Travaux dirigés de Mathématiques générales (SECO 1)

Fiche n°2

  Corrigé du cas pratique 3

1. On désigne par[pic 3], [pic 4],[pic 5], les trois vecteurs de[pic 6]. La méthode pratique de détermination de leur rang donne :

[pic 7],

Si[pic 8] est différent de (0, 0, 0, 0), la matrice[pic 9]est de rang 3. Sinon ([pic 10]et [pic 11]), [pic 12]est de rang 2.

L’application canoniquement associée est :

[pic 13]

1. On a :

[pic 14]

Donc si[pic 15], ce type de matrice admet une inverse à gauche et à droite qui sont égales et du même type :

[pic 16]

  Corrigé du cas pratique 4

1. On a :

[pic 17], [pic 18], [pic 19], [pic 20], [pic 21]

[pic 22]est différent de[pic 23]car les matrices[pic 24]et[pic 25]ne commutent pas

([pic 26])

1. On a :

[pic 27], [pic 28], [pic 29] et[pic 30] 

L’égalité[pic 31]équivaut aux deux conditions : [pic 32]et[pic 33]

Si[pic 34], on a : [pic 35] ; la matrice[pic 36]commutent avec toute matrice carrée d’ordre 2. Par contre, si[pic 37], les matrices[pic 38]et[pic 39] commutent si et seulement si[pic 40] ; dans ce cas, les matrices[pic 41] qui commutent avec[pic 42]sont les matrices[pic 43] de la même forme que[pic 44].

1. On a :

[pic 45]qui diffèrent de[pic 46]si[pic 47]

1. Dans le système linéaire : [pic 48], on a :

[pic 49]

On laisse (1) inchangé et on élimine[pic 50].

[pic 51].

On laisse [pic 52] inchangé et on élimine[pic 53].

Pour y arriver, l’équation[pic 54].

Soit : [pic 55]

Soit[pic 56]

Soit[pic 57]

Posons[pic 58]

D’où

[pic 59]

[pic 60] étant inchangé, on a :

[pic 61]Or[pic 62]

En remplaçant la valeur de[pic 63]dans[pic 64]au numérateur et non au dénominateur, on obtient :

[pic 65]

[pic 66]

En remplaçant la valeur de[pic 67]dans[pic 68]au numérateur et non au dénominateur, on obtient :

...