Le beau est-il mathématiques ?

Le beau est-il mathématiques ?

Pour définir le mot « beau » on s’intéresse à son étymologie, il nous vient du grec « kalos » qui signifie harmonieux. Et quoi de plus harmonieux que les mathématiques ?

Tout d’abord, qu’est-ce qu’une suite ? Une suite est succession de nombre réels, on pourrait dire qu’une suite s’apparente à une fonction qui associe un nombre entier naturel à un nombre réel. Une suite est définie de différente manière, par reccurence où l’on construit le terme suivant grâce au terme précédent, on a par exemple Un+1 = 3 x Un, donc si U0 = 1 U1 = 3 * 1 donc U1 = 3. On utilise cependant le plus souvent sa forme explicite, on a directement Un en fonction de n, cette forme nous permet de calculer n’importe quelle terme sans avoir eu à calculer les rangs précédents.

Je vais maintenant parler de la suite de Fibonacci, elle est définie par récurrence  par f(0) = 1, f(1) = 1, f(n+2) = f(n+1) + f(n), on additionne donc les deux derniers termes pour obtenir le terme suivant, on a donc : 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… etc.

Pour en arriver à cette suite, Fibonacci chercher à modéliser l’évolution d’une population de lapins. Il part du principe qu’un couple de lapin met toujours au monde un nouveau couple de bébé lapins. Ces bébés devront attendre un mois avant de se reproduire. En commençant au mois n = 1 avec un couple de bébé lapins, au mois n = 2 le couple de bébé lapins sera devenus adultes. Au mois n = 3 le couple initial est resté et a engendré un nouveau couple de bébé lapins. A n = 4 le couple initial est toujours présent et continue d’engendrer un couple de bébé lapins et l’ancien couple de bébé lapins est devenu adulte. Ce paterne se reproduit alors tous les mois suivants. On observe donc que la population de lapins au fil des mois évolue de la même manière que la suite de Fibonacci.

La suite de Fibonacci vérifie u0 = 1,  u1= 1 et Un+2 = Un+1 + Un. C’est une suite récurrente linéaire d’ordre 2. Son équation caractéristique est r² -r -1 = 0 ce qui nous fournit deux solutions réelles r1 = 1+√5 2 et r2 = 1-√5 / 2.

La solution r1 est un nombre très particulier puisqu’il s’agit du nombre d’or, habituellement noté φ.

Si l’on divise 2 termes consécutifs de la suite de fibonacci, on obtient un nombre qui se rapproche du nombre d’or, plus on avance dans la suite plus le terme est proche du nombre d’or.

Mais alors, quel lien entre la suite de fibonnaci, le nombre d’or et le beau ?

Le nombre d’or et la suite de fibonacci correspond à l’harmonie et au beau à son paroxysme dans la nature et dans l’art. Prenons l’exemple de la marguerite, si vous comptez le nombre de pétales vous tomberez sur un nombre de la suite de fibonacci.

D’un point de vu géométrique, la suite de fibonacci se traduit par une spirale. Cette spirale se retrouve à tous les niveaux dans la nature, dans les coquillages, dans les plantes, dans l’organisation des motifs dans la roue du paon ou encore dans un cyclone par exemple.

Dans la fleur de tournesol, on y retrouve 34 spirales dans un sens et 55 dans l’autre, qui sont des nombres présents dans la suite de fibonacci et qui font apparaître le nombre d’or.

Dans la nature ça représente l’harmonie mais dans l’art ça représente le beau à l’état suprême.

Un visage est considéré comme parfait quand il rentre dans les proportions de la suite de fibonacci et du nombre d’or.

L’homme de vitruve de Leonard de Vinci, par exemple, respecte parfaitement les proportions de la suite de fibonacci.

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