Intérêts et valeur acquise

I) Intérêts et valeur acquise

Définition

Un capital est placé à intérêts composés lorsque le montant des intérêts produits à la fin

de chaque période de placement s’ajoute au capital placé pour devenir productif

d’intérêts la période suivante.

La valeur acquise Cn par le capital initial C0 au bout de n périodes de placement est

égale à :

( ) 0 1 n

n C = C + t avec t : taux d’intérêts sur une période

Remarque

Le montant des intérêts acquis est la différence entre la valeur acquise et le capital placé :

n 0 i = C -C

Les périodes de capitalisation des intérêts peuvent être le mois, le trimestre, le semestre ou

l’année.

Le montant des valeurs acquises C1, C2, C3, … Cn forment une suite géométrique de raison :

(1 + t).

Les intérêts composés sont surtout utilisés pour des placements à long terme.

Exemple

Un capital de 5 000 € est placé à intérêts composés au taux annuel de 4 % pendant 5 ans.

La première année les intérêts se calculent sur le capital C0 = 5000 € :

1 i = 5000´0,04 = 200 €

La valeur acquise de la première année est : 1 C = 5200 €

L’année suivante, les intérêts se calculent sur le capital 1 C = 5200 € :

2 i = 5200´0,04 = 208 €

La valeur acquise de la deuxième année est : 1 C = 5408 €

Ainsi de suite, la valeur acquise de la cinquième année est :

( ) 5

5 0 1 5000 1,04 n C = C + t = ´

soit 5 C = 6083, 26 € .

II) Calculer le montant d’un capital placé

Méthode

Connaître la valeur acquise, le nombre de périodes, le taux périodique.

Transformer la formule :

( ) 0 1 n

n C = C + t équivaut à ( ) 0 1 n

n C C t - = +

http://maths-sciences.fr Bac Pro tert

Cours sur les intérêts composés 2/7

Exemple

Quel capital faut-il placer pendant 5 ans au taux de 3,5 % l’an pour obtenir une valeur acquise

de 5000 € ?

5000 € n C = ; t = 3,5 % ; n = 5 ans.

( ) ( ) 5

0 1 5000 1,035 n

n C C t - - = + = ´ ;

soit C0 = 4209,87 € .

III) Calculer un taux de placement

Méthode

Connaître le montant du capital placé, la valeur acquise et le taux périodique.

Transformer la formule de capitalisation :

( ) 0 1 n

n C = C + t équivaut à ( )

0

1 n n C

t

C

+ =

soit :

1

0

1

n

n C

t

C



+ =  

 

d’où

1

0

1

n

n C

t

C



=   -

 

.

Exemple

Un capital de 20 000 € placé en capitalisation trimestrielle pendant 5 trimestres a une valeur

acquise de 21 465,68 € au terme du placement. Calculer le taux trimestriel de placement.

0 C = 20 000 € ; 5 C = 21 465,68 € ; n = 5 trimestres.

( )5 21465,68

1

20000

+ t =

où

1

21465,68 5

1

20000

t

 =   -

 

soit t = 0,014

Le taux trimestriel est de 1,4 %.

IV) Calculer une durée de placement

Méthode

Connaître le montant du capital placé, la valeur acquise et le taux périodique.

Transformer la formule de capitalisation :

( ) 0 1 n

n C = C + t équivaut à ( )

0

1 n n C

t

C

+ =

...