Production finale TPE "Les fractales dans le système pulmonaire"

Laetitia BARDOU                                                                                                         CNED Premiere S

LES FRACTALES DANS LE SYSTEME PULMONAIRE

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2017/2018

Remerciements :

- Je remercie tout d’abord mon tuteur TPE, Mr QUAGLIA de m’avoir encadré durant ses mois de travail.

- Remerciements plus particuliers au Dr BARAVALLE et au Pr DUBUS qui ont prit sur leur temps de travail au CHU de La Timone pour m’aider à trouver des simulations informatiques du système pulmonaire, malheureusement en vain.

Sommaire

1. Introduction                           Page 4

1. Description des fractales        Page 5

-Histoire des fractales                Page 5

-Figures autosimilaires              Page 7

-Courbe de Von Koch               Page 7

-Ensemble de Mandelbrot         Page 8

1. Fonctionnement du système pulmonaire      Page 9

-Historique des découvertes                               Page 9

-Anatomie du système pulmonaire                     Page 9

-Respiration                                                        Page 12

-Echanges gazeux                                               Page 12

1. Relation entre fractales et système pulmonaire                     Page 13

-Dimension fractale des ramifications saguines pulmonaires      Page 13

-Dimension fractale de l’arbre bronchique                                   Page 13

1. Utilité des fractales dans le système pulmonaire       Page 14

-Volume poulmonaire                                                         Page 14

-Robustesse des poumons                                                   Page 14

1. Conclusion       Page 15

Les fractales sont des figures géométriques étranges qui passionent les mathématiciens depuis le XIXe siècle. D’abord considérées comme des curiosités mathématiques, elles acquièrent un statut à part entière en 1975 grâce au mathématicien français Benoît Mandelbrot, qui les décrit comme des figures géometriques « ayant la propriété de pouvoir être décomposées en parties de telle façon que chaque partie soit une image réduite du tout », et invente le terme « fractale » du latin fractus qui signifie « brisé ».

Certains objets naturels se sont révélés être des fractales, comme par exemple les fougères, les choux romanesco, ou encore le système pulmonaire humain que nous allons étudier dans le cadre de ce TPE, dans le but de mettre en relation les Mathématiques et les Sciences de la vie et de la terre et d’illustrer le thème « Structures ».

Nous allons donc nous demander pourquoi nos poumons sont ils composés de structures fractales, et quels en sont les avantages sur la respiration.
Pour ce faire nous étudierons d’abord plusieur structures fractales, puis le fonctionnement de notre système pulmonaire, et enfin l’apport des structures fractales dans notre systeme pulmonaire et respiratoire.

Description des fractales

Une fractale est une figure géométrique qui possède des détails quelle que soit l’échelle à laquelle on la regarde. C’est donc une figure infinie dans un espace fini.

Histoire des fractales

Hormis les fractales naturelles, le premier exemple de figure fractale connu à ce jour remonte à la Grèce antique et s’appelle la « baderne d’Apollonius ». Cette figure date d’Apollonius de Perge au 3eme siècle avant J.C.

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Source : http://tpe-fractales-12-13.e-monsite.com/pages/etude-mathematique.html

On trouve également des fractales dans le domaine artistique depuis bien longtemps, un des plus vieux exemple étant La Grande vague de Kanagawa du peintre japonais Katsushika Hokusai, où l’on remarque que les petites vaguelettes en haut de la vague principale sont des reproductions de plus en plus petites.

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Source : http://kartavoir.blogspot.fr/2015/03/n151-la-grande-vague-de-kanagawa-1830.html

Ce n’est qu’en 1890 et 1904 qu’apparurent les poussières de Cantor et le flocon de Von Koch. Ces objets fractals portaient le nom de « courbes monstrueuses », car elles sont apparues bien avant l’invention du terme « fractale » en 1975.

Durant la Premiere Guerre mondiale, un mathématicien se demanda quelle forme cela donnerait si on prenait un fonction quelconque (f(x) = ax + b, par exemple), puis, qu’on l’applique à une valeur, ce qui nous donne une deuxième valeur, puis qu’on applique cette fonction à la deuxième valeur, etc... Jusqu’à l’infini.

Les ordinateurs de l’époque n’étant pas assez puissants pour ce genre de calculs, ils seront réalisés bien des années plus tard par Benoît Mandelbrot qui les nomma « Ensemble de Julia » du nom du mathématicien Gaston Julia.

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Source : https://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_de_Julia

Mandelbrot créa aussi son propre ensemble qui regroupe tout les ensembles de Julia sous le nom d’ « Ensemble de Mandelbrot », ensemble qui deviendra l’emblème des fractales.

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Source : http://sdz.tdct.org/sdz/dessiner-la-fractale-de-mandelbrot.html                                                                                                                                                                                                                                                                                                

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