Théorie du risque

Projet final

Théorie du risque

ACT3251

Par:

XXX

Et

XXX

(Groupe: 13)

10 Janvier 2013

Ce projet vise à analyser des données à l’aide de trois grandes catégories, afin de réduire les risques financiers pour une compagnie d’assurance. Dans la première partie de ce travail (Modèles agrégés), nous allons analyser les données. Pour ce faire, nous allons tenter d’estimer différents paramètres de différentes lois à l’aide du maximum de vraisemblance. Puis, pour la deuxième partie (Probabilité de ruine), nous allons évidement calculer la probabilité de ruine à horizon infini selon différent thêta en fonction d’un niveau initial. Finalement, dans la troisième partie (mesures de risque), on fera une analyse par simulation de trois modèles pour des actifs financiers.

Introduction :

Réduire les risques reliés à l’assurance ainsi qu’à la finance nécessite une bonne compréhension théorique et une certaine maitrise informatique. Pour ce faire, nous avons décidé d’utiliser le logiciel Excel.

Ainsi donc, dans la partie1, nous allons étudier le modèle de poisson composé par deux méthodes de discrétisation, soit celle des arrondis et celle des moments.                                                       Pour la méthode des arrondis, on va d’abord analyser les données de sinistres individuels afin de trouver le meilleur des deux modèles proposé. Pour ce faire, nous allons trouver les statistiques descriptives puis estimer avec la méthode du maximum de vraisemblance les paramètres (delta et gamma) d’une loi inverse gaussienne généralisée avec lambda égale à deux ainsi que ceux (alpha et thêta) d’une loi Gamma. Après avoir déterminé le modèle qui approche le mieux nos pertes individuelles, nous discrétisons sur un certain intervalle selon la méthode en question afin d’estimer la loi de nos pertes agrégées.                                                                                                                                                  Ensuite, pour la méthode des moments, on fait la même analyse sur différentes réclamations individuelles, avec cette fois ci la loi de Pareto de paramètres alpha et thêta. Puis on trouve une estimation de la loi des pertes agrégées en discrétisant.                                                                Finalement, on va faire une analyse des rendements financiers à l’aide de la loi inverse gaussienne et de ses paramètres estimés  selon  la même méthode que précédemment.                

Puis, pour la partie2, nous allons étudier un modèle à temps continu pour le surplus d’un portefeuille d’une compagnie d’assurance selon des pertes de différentes lois. Effectivement, le but d’une compagnie est d’une part que son surplus reste positif. Nous allons donc étudier les probabilités de ruine à horizon infini en fonction des niveaux initiaux u et de différentes valeurs de thêta. Dans un premier temps, nous allons calculer la probabilité de ruine à horizon infini pour la loi inverse gaussienne généralisée, à l’aide de notre discrétisation de la partie 1 ainsi  qu’en trouvant fe la loi d’équilibre et le Fs associé à chaque x. Puis, nous allons voir comment on pourrait réduire la probabilité de ruine. Ensuite, nous allons comparer nos résultats avec ceux estimés avec la borne de Lundberg. Dans un second temps, nous allons encore une fois calculer la probabilité de ruine à horizon infini, mais ici pour la loi Pareto avec différent thêta donnés, pour ensuite trouver des probabilités associés ainsi que des intervalles de confiance pour différents niveaux. Puis, on va comparer nos résultats avec une approximation asymptotique. Finalement, on va calculer pour une dernière fois la probabilité de ruine à horizon infini avec u = 50, 100 et 150 en supposant ici que nos pertes suivent une loi exponentielle. Ensuite, on va aussi calculer la borne de Lundberg pour chaque u et thêta, approcher la probabilité de ruine à l’aide de l’approximation par un mouvement brownien, puis recalculer la probabilité de ruine et les approximations par un mouvement brownien en supposant que nos pertes suivent une Pareto avec une moyenne de 20 et un alpha de 3. Bref, le but de cette section est aussi de comparer différentes méthodes.

 Pour finir, dans la partie3,  on va étudier les mesures de risque pour différents actifs financiers. On va alors faire une analyse par simulation de trois modèles, soit le LogNormale, le LogNormale avec sauts LogNormaux et un NIG.

Première partie : Les pertes agrégées   

Question #1 : On analyse les pertes agrégées du modèle poisson composé par la méthode des arrondis.

Dans un premier temps, on analyse les données en trouvant les statistiques descriptives. On va ensuite chercher la meilleure des deux lois pour nos réclamations individuelles. Nos données sont Assu-A13.txt, des réclamations individuelles fournies par l’enseignante.                     

La première loi est une inverse gaussienne généralisée :

   [pic 1]                       

On estime les paramètres avec la méthode du maximum de vraisemblance en prenant λ = 2 :

On calcul d’abord le likelihood [pic 2]

Puis le loglikelihood ;  log () = 2n(log(ϒ)-log(δ)) – nlog2 – nlog(K2(δϒ)) + – 0,5[pic 3][pic 4][pic 5]

Ainsi, avec l’aide du solveur dans Excel, en imposant un maximum à cette équation on obtient comme paramètres estimés ϒ =0,204824 et δ = 0,00001. On remarque que δ est près de zéro et donc d’une loi gamma.

La deuxième loi est une gamma :

   [pic 6]

On estime aussi les paramètres avec la méthode du maximum de vraisemblance :

On obtient comme loglikelihood ; log() = -nαlogθ – nlog(Γ(α)) + (α – 1) – (1/θ)[pic 7][pic 8][pic 9]

Ainsi, encore avec l’aide du solveur dans Excel, en imposant un maximum à cette équation on obtient comme paramètres estimés θ =  47,5769516 et α = 2,004024371

On  compare ensuite les données à l’aide des graphiques suivant :

Pour la IGG :

[pic 10]

Pour la Gamma :

[pic 11]

On remarque que les deux modèles sont très semblable, mais qu’aucun ne semble correspondre à nos réclamations. Il ne serait donc pas concluant pour cette compagnie d’assurance de prendre l’une de ses lois avec les paramètres trouvés précédemment, puisque les deux lois semblent sous-estimées réclamations. On pourrait cependant essayer de prendre une autre méthode pour estimer les paramètres ou tout simplement choisir une autre loi.

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