Les fractions décimales

Correction des exercices sur le

Logarithme népérien

Ex 65 p 121

1.a. On a :

        [pic 1]

Donc :

        [pic 2]

1.b. Pour étudier le signe de la dérivée, il faut factoriser son expression car les deux termes ne sont pas de même signe. On a :

        [pic 3]        (on met au même dénominateur)

        [pic 4]

On peut alors étudier le signe du quotient en étudiant le signe du numérateur et du dénominateur :

        [pic 5]                                [pic 6]

2. [pic 11] étant positive sur [pic 12], la fonction f est croissante sur cet intervalle.

    [pic 13] étant négative sur [pic 14], la fonction f est décroissante sur cet intervalle.

Le tableau de variations de f est donc :

[pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

3.a. La courbe C traverse l’axe des abscisses à chaque fois que la fonction f vaut 0. Il faut donc montrer que l’équation [pic 21] possède exactement une solution.

Comme on demande de montrer qu’il y a une solution, sans préciser sa valeur, cela signifie qu’il faut utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.

Sur[pic 22], la fonction f est croissante et continue. Le minimum de la fonction est égale à [pic 23]. Ainsi f ne prend pas la valeur 0 sur cet intervalle.

Sur[pic 24], la fonction f est décroissante et continue. On a [pic 25].

D’après le théorème des valeurs intermédiaires, la fonction f s’annule exactement une fois dans l’intervalle [pic 26].

Conclusion : f s’annule exactement une fois dans l’intervalle[pic 27]. La courbe C traverse donc une seule fois l’axe des abscisses dans ce même intervalle.

3.b. A l’aide de la calculatrice, on peut trouver un encadrement de l’unique solution à [pic 28]. On a en effet :

        [pic 29]

Donc la solution est comprise entre 11 et 12.

On en déduit que le plus grand intervalle à bornes entières sur lequel la fonction f est positive est l’intervalle [pic 30].

4.a. Pour cette question, on peut utiliser les deux expressions obtenues précédemment pour la dérivée de f :

[pic 31]                        ou                [pic 32]

[pic 33]                                On reconnait la forme [pic 34] avec :

                                                        [pic 35]                [pic 36]

[pic 37]                ou        [pic 38]

                                                [pic 39]

4.b. et c. Comme -3 est négatif et [pic 40] est positif, la fonction[pic 41] est de signe négatif. Ainsi la fonction f est concave sur [pic 42].

Ex 64 p 121

1. On a :

        [pic 43]

La fonction f est de la forme uv avec :

        [pic 44]                [pic 45]

[pic 46]                [pic 47]

Ainsi :

        [pic 48]

2.a. On résout l’inéquation :

                [pic 49]

Ainsi on a [pic 50] si [pic 51]

2.b. On en déduit le tableau de signes de [pic 52] sur [pic 53] :

Attention : Il ne faut pas oublier les propriétés sur l’exponentielle ! Ainsi :

        [pic 54]                et                [pic 55]

Il est préférable d’utiliser les expressions de la forme [pic 56], plutôt que les expressions avec les quotients et racines.

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