Le racine carré

 CHAPITRE 1 : RACINES CARREES ET ENSEMBLE DE NOMBRES

I/RACINES CARREES

1 Définition :

La racine carrée d’un nombre positif a est le nombre positif noté √a dont le carré est a.

√ s’appelle le radical.

√a se lit « racine carrée de a »

! La racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas.

2 Propriétés :

Pour tout nombre positif a :

(√a)2 = a et √a2

Exemple :

√9 + √32 = 3                                                               (√144)2 = 144

√144 = √122 = 12                                                     (√π-3)2 = π-3

(√12)2 = 12                                                                 (√3-π)2 = π-3

Remarque :

√0 = 0       √3-4 = √-1 = n’existe pas      √(-1)2 = 1         (√-1)2 = n’existe pas

3 Vocabulaire :

On appelle carré parfait un nombre entier positif dont la racine carrée est un nombre entier.

4 Règles de calcul :

Exemple :

• √4x√9 = 3x2 = 6                              √4x9 = √36 =6

 Donc : √4x√9 =√4x9

• √25x√400 = 5x20 = 100                            √25x400 = √10000 =100

 Donc : √25x√400 =√25x400

On peut conjecturer que :

√ax√b=√axb

Avec :

• a > ou = 0
• b > ou = 0

Démonstration :

Montrons que  x  =  avec a > ou = 0[pic 1][pic 2][pic 3]

                                                                    b> ou = 0

( x ) = 2 x 2 = ab[pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

2 = ab[pic 8]

On voit donc que : ( x )2 = 2[pic 9][pic 10][pic 11]

Comme tous les termes sont positifs, on peut en déduire que  x  = [pic 12][pic 13][pic 14]

D’où la propriété :

Pour tous nombres a et b positif[pic 15]

 x  =  [pic 16][pic 17][pic 18]

= avec b diffèrent de 0[pic 19][pic 20]

Remarque :

Il n’existe aucune règle générale pour la somme ou la différence de radicaux.

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