Formules concernant les suites arithmétiques et les suites géométriques

Formules concernant les suites arithmétiques et les suites géométriques

I Suites arithmétiques

1°) Définition :

On appelle suite arithmétique une suite de nombres où on passe d’un terme au suivant en

ajoutant toujours le même nombre (ce nombre est appelé raison de la suite arithmétique et est

souvent noté r).

2°) Exemple :

Suite arithmétique de premier terme 2 et de raison 3 :

2 5 8 11 14 17 etc.

3°) Notations possibles :

Si on note u0 le premier terme, on a : u0 = 2, u1 = 5, u2 = 8, etc. et, dans ce cas, un est le

(n + 1)ème terme.

Si on note u1 le premier terme, on a : u1 = 2, u2 = 5, u3 = 8, etc. et, dans ce cas, un est le

nème terme.

Dans les deux cas, u(n+1) = un + r

4°) Formule permettant de calculer le nème terme d’une suite arithmétique :

nème terme = premier terme + (n – 1) × r

Remarque :

Si on note u0 le premier terme, on a : un = (n + 1)ème terme = u0 + nr

Si on note u1 le premier terme, on a : un = nème terme = u1 + (n - 1)r

Exemple : le 12ème terme de la suite arithmétique de premier terme 2 et de raison 3 vaut

2 + 11×3 soit 35.

Remarque :

Ce 12ème terme est u11 si le premier terme est noté u0.

Ce 12ème terme est u12 si le premier terme est noté u1.

5°) Formule permettant de calculer la somme des n premiers termes d’une suite

arithmétique :

a) S = nombre de termes ×

premier terme + dernier terme

2

b) Remarque :

Si on note u0 le premier terme, u0 + u1 + u2 + … +un = somme des (n+1) premiers termes

= 0 n u u

(n 1)

2



 

Si on note u1 le premier terme, u1 + u2 + u3 + … +un = somme des n premiers termes

= 1 n u u

n

2





http://pernoux.perso.orange.fr

c) Exemple concernant la suite arithmétique de premier terme 2 et de raison 3 :

2 + 5 + 8 + 11+14 +17 = 6 × 2 17

2

 = 57

d) Exemple « classique » (avec la suite des entiers naturels qui est la suite arithmétique

de premier terme 1 et de raison 1) :

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …… + (n-1) + n =

1+ n

n ×

2

=

n(n 1)

2



donc

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …… + 67 + 68 = 68× 69

2

= 2346

e) Remarque : une formule analogue est utilisable pour trouver la somme de termes consécutifs

d’une suite arithmétique quand le premier terme considéré n’est pas le premier terme de la

suite arithmétique

Exemple :

u12 + u13 + u14 + … +u33 + u34 = 23 × 12 34 u u

2



Exemple « classique » (avec la suite des entiers naturels qui est la suite arithmétique de

premier

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