Fiche de révisions maths

Ensemble de nombres complexes, noté ℂ, qui contient l'ensemble des nombres réels ℝ, vérifiant les propriétés suivantes :

→ ℂ contient un nombre i tel que i²=−1

→ a+ib où a et b sont des nombres réels

z=x+iy (x/y réels) → forme algébrique de z. ex : 12-4i

→ partie réelle de z, Re(z) = x

→ partie imaginaire de z, Im(z) = y

ex : z=12−4i : Re(z)=12 Im(z)=−4

Nombres complexes égaux ssi : même partie réelle et même partie imaginaire

z réel ssi Im(z)=0

z imaginaire pur ssi Re(z)=0 Ex : z=−6 Im(z)=0 → z∈ℝ

z=5i. Re(z)=0 → z imaginaire pur

Soit z un nombre complexe.

z est réel ⇔z=z

z est imaginaire pur ⇔z=−z

iℝ = ensemble des nombres complexes imaginaires purs

z → nombre complexe non nul → un unique nombre complexe z′= inverse de Z, 1/z

Inverse de i → -i

conjugué de z, noté z, le complexe :

z =x−iy ex : 2−2i=2+2i 2=2

z+z′=z+z′

zz′=z*z′

Module de z, noté │z│, le réel :

│z│= │1+2i│=

z*z = │z│²

│z│=│z│

│z│=│-z│

│z/z'│=│z│/│z'│

│zn│=│z│n

z' différent de 0 : z/z' = z/z' z+z=2Re(z) z−z=2i Im(z)

z réel → z=z

z imaginaire pur → z=−z

Le module │z│ du nombre complexe z, affixe du point M, est égal à la distance OM. (M(z).

Axe des ordonnés : imaginaire

Axe des abscisses : réel

M a pour affixe Z

a appartient à ℂ d'image (affixe) le point A. → interprétation géométrique

│z-a│=AM distance du module

z-a est l'affixe du vecteur AM

z-a est aussi l'affixe du vecteur OM' = AM

│z-a│= OM'= AM

Un trinôme du second degré à coef réels (a≠0) az²+bz+c, de discriminant Δ<0 → racines complexes conjuguées :

z1= z2=

DERIVEES :

fonctions dérivées :

→ f(x)=xn

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