Fiche de maths

Notion

Définition

Exemple

Fonction continue en un point

Une fonction est continue en un point x = a si elle est définie en a et si la limite de la fonction en a existe et est égale à la valeur de la fonction en a.

f(x) = x² est continue en x = 2 car lim x → 2 f(x) = 4 = f(2)

Continuité à gauche/à droite

Une fonction f est continue à gauche en x = a si la limite de f en a par les valeurs inférieures est égale à la valeur de f(a), et elle est continue à droite en x = a si la limite de f en a par les valeurs supérieures est égale à la valeur de f(a).

f(x) =

Prolongement par continuité

On dit qu'une fonction f est prolongeable par continuité en x = a si la fonction prolongée g est continue en a et si g(x) = f(x) pour tout x différent de a.

f(x) = 1/x est prolongeable par continuité en x = 0 car la fonction prolongée g(x) = { 1/x si x ≠ 0, 0 si x = 0 } est continue en x = 0.

Notions

Définitions

Exemples

Propriétés

Fonction continue sur un intervalle

Une fonction est continue sur un intervalle si elle est continue en tout point de cet intervalle.

$f(x)=\sqrt{x}$ sur $[0,1]$

La somme, le produit et la composition de fonctions continues sur un intervalle sont également continues sur cet intervalle.

Continuité des fonctions usuelles

Les fonctions usuelles telles que les fonctions polynomiales, exponentielles, logarithmiques et trigonométriques sont continues sur leur domaine de définition.

$f(x)=x^2$ sur $\mathbb{R}$

La somme, le produit et le quotient de fonctions continues sont également continues sur leur domaine de définition.

Théorème des valeurs intermédiaires

Si une fonction continue sur un intervalle $[a,b]$ prend les valeurs $f(a)<c<f(b)$ (ou $f(a)>c>f(b)$), alors il existe un $x\in(a,b)$ tel que $f(x)=c$.

$f(x)=\sin(x)$ sur $[0,\pi]$ et $c=1/2$

Le théorème des valeurs intermédiaires est également appelé théorème de Bolzano.

Théorème de la bijection

Si une fonction continue $f$ sur un intervalle est strictement croissante (ou décroissante), alors $f$ est une bijection de l'intervalle sur son image.

$f(x)=e^x$ sur $\mathbb{R}$

La fonction réciproque $f^{-1}$ d'une fonction continue et bijective est également continue.

Continuité et fonctions réciproques

Si une fonction continue $f$ sur un intervalle est bijective, alors sa fonction réciproque $f^{-1}$ est également continue sur son image.

$f(x)=\tan(x)$ sur $(-\pi/2,\pi/2)$

La fonction réciproque $f^{-1}$ d'une fonction continue et bijective est également dérivable avec une dérivée continue.

Notions

Définitions

Exemples

Propriétés

Probabilité conditionnelle

La probabilité conditionnelle d'un événement A sachant que B s'est produit est la probabilité de l'intersection de A et B divisée par la probabilité de B.

PA(B) = P(A ∩ B) / P(B)

Si B est certain, alors PA(B) = P(A). Si A et B sont indépendants, alors PA(B) = P(A).

Formule des probabilités composées

La probabilité de l'intersection de plusieurs événements est égale au produit des probabilités conditionnelles de chaque événement sachant que les événements précédents se sont produits.

P(A ∩ B ∩ C) = P(A) x PB(A) x PC(A ∩ B)

La formule des probabilités composées peut être généralisée à un nombre quelconque d'événements.

Formule des probabilités totales

Si B1, B2, ..., Bn sont des événements mutuellement exclusifs et exhaustifs, alors la probabilité de tout événement A est la somme des probabilités conditionnelles de A sachant que chaque événement Bi s'est produit multiplié par la probabilité de Bi.

P(A) = Σi P(A

Bi) x P(Bi)

Formule de Bayes

La formule de Bayes est utilisée pour inverser les probabilités conditionnelles et trouver la probabilité d'un événement B sachant que l'événement A s'est produit.

PB(A) = PA(B) x P(B) / P(A)

La formule de Bayes est souvent utilisée dans le cadre de la classification et de la prise de décision.

Indépendance de deux événements

Deux événements A et B sont indépendants si la probabilité de l'intersection de A et B est égale au produit des probabilités de A et de B.

P(A ∩ B) = P(A) x P(B)

Si A et B sont indépendants, alors la probabilité conditionnelle de A sachant que B s'est produit est égale à la probabilité de A, c'est-à-dire PA(B) = P(A).

Événements mutuellement indépendants

Une collection d'événements est mutuellement indépendante si la probabilité de l'intersection de n'importe quelle combinaison d'événements est égale au produit des probabilités de chaque événement individuel.

P(A ∩ B ∩ C) = P(A) x P(B) x P(C)

Si A, B et C sont mutuellement indépendants, alors la probabilité conditionnelle de A sachant que B et C se sont produits est égale à la probabilité de A, c'est-à-dire PA(B ∩ C) = P(A).

Notions

Définitions

Exemples

Propriétés

Série de terme général un

Une série de terme général un est une suite infinie de nombres réels notée ∑un = u1 + u2 + ... + un + ...

∑(1/n) est la série harmonique.

Somme partielle d'indice n

La somme partielle d'indice n d'une série est la somme des n premiers termes de la série.

Sn = u1 + u2 + ... + un

La somme partielle d'indice n peut être utilisée pour étudier la convergence de la série.

Suite des sommes partielles

La suite des sommes partielles est la suite (Sn) où Sn est la somme partielle d'indice n de la série.

La suite des sommes partielles de ∑(1/n) est (1, 1+1/2, 1+1/2+1/3, ...)

Convergence

Une série convergente est une série dont la suite des sommes partielles a une limite finie.

La série ∑(1/n^2) est convergente.

Somme d'une série

La somme d'une série convergente est la limite de la suite des sommes partielles.

La somme de la série ∑(1/n^2) est π^2/6.

Divergence grossière

Une série est dite divergente grossièrement si la suite des sommes partielles tend vers l'infini.

La série ∑n est divergente grossièrement.

Condition de convergence

Une série à termes positifs est convergente si et seulement si la suite des sommes partielles est majorée.

La série ∑(1/2^n) est convergente car la suite des sommes partielles est majorée par 2.

Opérations sur les séries convergentes

Si deux séries ∑un et ∑vn sont convergentes, alors la série ∑(λun + µvn) est convergente pour tout λ et µ.

Si ∑un et ∑vn sont absolument convergentes, alors la série ∑(un + vn) est absolument convergente.

Convergence absolue

Une série ∑un est dite absolument convergente si la série ∑

un

est convergente.

Séries usuelles

Les séries géométriques sont de la forme ∑(λ^n) où λ est un nombre réel. Les séries géométriques dérivées d'ordre 1 et 2 sont de la forme ∑nλ^n et ∑(n^2)λ^n. La série exponentielle est de la forme ∑(λ^n/n!).

La série géométrique ∑(1/2^n) est convergente. La série géométrique dérivée d'ordre 1 ∑n(1/2)^n est convergente. La série exponentielle ∑(1/n!) est convergente et sa somme est e.

Notions

Définitions / Formules / Concepts

Nombre dérivé

Limite du taux d'accroissement : f'(a) = lim(h->0) [f(a+h) - f(a)]/h.

Nombre dérivé à gauche et à droite

Nombre dérivé à gauche : f'(a-) = lim(h->0-) [f(a+h) - f(a)]/h. Nombre dérivé à droite : f'(a+) = lim(h->0+) [f(a+h) - f(a)]/h.

Interprétation graphique

La dérivée f'(a) est la pente de la tangente au point d'abscisse a de la courbe représentative de f.

Dérivabilité sur un intervalle

Une fonction f est dérivable sur un intervalle I si elle est dérivable en tout point de I.

Dérivées des fonctions usuelles

(d/dx)(k) = 0, (d/dx)(x) = 1, (d/dx)(x^n) = nx^(n-1), (d/dx)(e^x) = e^x, (d/dx)(ln(x)) = 1/x, (d/dx)(sin(x)) = cos(x), (d/dx)(cos(x)) = -sin(x).

Opérations sur les fonctions dérivables

Combinaisons linéaires : Si f et g sont dérivables sur I, alors cf+dg est dérivable sur I. Produit : Si f et g sont dérivables sur I, alors fg est dérivable sur I et (fg)' = f'g + fg'. Quotient : Si f et g sont dérivables sur I et g ne s'annule pas sur I, alors f/g est dérivable sur I et (f/g)' = (f'g - fg')/g^2. Composition : Si f est dérivable au point a et g est dérivable au point f(a), alors g o f est dérivable au point a et (g o f)'(a) = g'(f(a)) f'(a).

Dérivée d'une fonction réciproque

Si f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I, et si f admet une fonction réciproque f^-1, alors f^-1 est dérivable sur J = f(I) et (f^-1)'(y) = 1/f'(x), où x = f^-1(y).

Lien entre signe de la dérivée et variations d'une fonction

Si f est dérivable sur un intervalle I, alors : - f est croissante sur I si f'(x) >= 0 pour tout x dans I. - f est décroissante sur I si f'(x) <= 0 pour tout x dans I. - f admet un maximum local en a si f'(a) = 0 et f'(x) < 0 pour x < a et f'(x) > 0 pour x > a. - f admet un minimum local en a si f'(a) = 0 et f'(x) > 0 pour x < a et f'(x) < 0 pour x > a.