Comment gérer ou travailler avec des grandeurs qui varient à des échelles très différentes ?

Sujet 2 mathématiques

Comment gérer ou travailler  avec des grandeurs qui varient à des échelles très différentes ?

Introduction :

Quand on mesure un objet, c’est pas compliqué : un centimètre est un centimètre ! Pour le dessiner ensuite, on divise chaque centimètre par 10 par exemple pour qu'il "tienne" sur une feuille.On utilise ainsi l’échelle linéaire, le principe est simple on copie à l'identique un centimètre... puis on double la distance pour arriver à 2, on la triple pour arriver à 3, etc...

Mais pour représenter des choses qui font intervenir des tailles très très différentes, l'échelle  linéaire n'est pas une bonne option !

On peut donc se demander comment gérer ou travailler  avec des grandeurs qui varient à des échelles très différentes ?

Pour  représenter des choses énormes sans perdre trop de détails , on fait appel à l'échelle logarithmique.

Avant d’aborder la question, c’est important de savoir ce que sont les logarithmes, je vais donc commencer par introduire cette notion.

Alors comme vous le savez il existe une infinité de fonctions mathématiques, parmi les plus connues, on a la fonction affine, linéaire, exponentielle. Et bien le logarithme, c’est également une fonction; un outil mathématiques très connu et très utilisé dans la vie courante. Les fonctions logarithmes ont eu des applications concrètes dès leur création.

1.Histoire du logarithme

Les fonctions logarithmes ont été introduites en 1614 par Neper. C’était un mathématicien, écossais qui souhaitait trouver une méthode pour faciliter certains calculs de valeurs trigonométriques, car en effet, les calculs astronomiques étaient devenus de plus en plus compliqués au 17e s. Neper était fatigué de faire des multiplications et donc il s’est demandé s’il n’était pas possible de simplifier les calculs en remplaçant la multiplication par l’addition.

2. Définition du logarithme et fonctionnement de l’échelle logarithmique

1.  La fonction logarithme peut être défini comme la fonction qui associe à x la puissance à laquelle il faut élever une constante appelée la base pour obtenir le nombre x. Elle se note log (x) indice a où a est la base. Il existe plusieurs fonctions logarithmes. Les plus connues sont la fonction logarithme népérien qui se note ln(x), que l’on retrouve dans les équations différentielles d’ordre 1 comme celle de la loi phénoménologique de Newton ou la charge du condensateur qui font intervenir la fonction exponentielle, la fonction logarithme népérien étant la réciproque de l’exponentielle. Il y a aussi la fonction logarithme décimal qui se note log(x).

Une échelle logarithmique est un concept différent de l’échelle habituelle où déjà on démarre de 1, on ne démarre pas de 0 et à chaque fois qu’on parcourt une certaine distance sur l’axe, on multiplie la valeur par une constante positive au lieu d’ajouter un nombre. Donc un exemple assez classique c’est de progresser sur l’axe en multipliant par 10. Donc on aura d’abord 1, puis 10, 100, 1000, 10000 etc. Cela permet de présenter des résultats sur des graphiques.

Cette échelle est dite logarithmique car les distances portées sur l’axe sont proportionnelles aux logarithmes des nombres représentés. L’échelle logarithmique permet une importante réduction d’échelle. Ainsi, ça va nous permettre de placer de très grands grands nombre sur un axe et donc une bonne lecture du phénomène étudié.) L'échelle logarithmique sert en fait surtout  pour représenter des choses qui changent énormément avec le temps.

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