Chapitre 1 : proportion et évolution
Cours : Chapitre 1 : proportion et évolution. Recherche parmi 300 000+ dissertationsPar Sam LabFab • 20 Janvier 2017 • Cours • 1 611 Mots (7 Pages) • 1 111 Vues
Chapitre 2 : fonctions de référence
- Rappel sur les fonctions
1. Définition
Une fonction f se définit sur ?R ou une partie D de R en associant, à tout nombre x de l'ensemble D, un nombre réel appelé image de x par la fonction f et que l'on note f(x) |
Une fonction peut être exprimée de différentes manières :
- Par une expression algébrique
Ex : la fonction f définie par f(x)= 3x-2
On cherche à calculer la valeur prise pour x=2
F(2) = 3x2-2
= 6-2
= 4
- Par un tableau de valeurs
Exemple :
X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
F(x) | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 |
Exercice : f(x) = 3x-2
Tableau de valeurs :
x | -1.5 | -1 | -0.5 | 0 | 0.5 | 1 | 1.5 |
F(x) | -6.5 | -5 | -3.5 | -2 | -0.5 | 1 | 2.5 |
2. Etude d’une fonction
- Croissante, décroissante, constante
- Si f(x) augmente lorsque x augmente, on dit que la fonction f est croissante
- Si f(x) diminue lorsque x augmente, on dit que la fonction f est décroissante
- Si f(x) ne varie pas lorsque x varie, la fonction f est constante
- Des points remarquables : f(0) et f(x)=0
F(0) est généralement facile à calculer
Ex : f(x) = x3 (x puissance 3) – 2x2 (x puissance 2) + x-5
F(0)= -5
Sur une courbe, f(0) correspond au point intersection avec l’axe des ordonnées.
F(x)=0
Les valeurs de x pour lesquelles la fonction prend la valeur 0.
Correspond à l’intersection de la courbe à l’axe des abscisses.
- Extremum et lecture graphique
- Lorsqu’une fonction atteint une valeur maximale f(x0) en x0, si on trace la droite horizontale y=f(x0), la courbe représentative de f est en dessous de cette droite.
- Lorsqu’une fonction f atteint une valeur minimale f(x1) en x1, la courbe représentative de f est au-dessus de la droite d’équation y=f(x1)
Exemple application : fichier cotation.xlsx
→ indice CAC 40 sur janvier
Valeur maximale, valeur minimale, périodes croissantes et décroissantes
- Fonctions affines
- Définition et représentation
Def : une fonction affine f est une fonction par laquelle, à tout réel x, on associe f(x)= ax+b, où a et b sont deux réels
La courbe qui la représente est une droite a est le coefficient directeur de la droite b est l’ordonnée à l’origine.
- F(x)= ax+b
Cas particulier : a = 0 -> fonction constante
B= 0 -> fonction linéaire (droite qui passe par l’origine du repère)
- Détermination d’une fonction affine
Si on connait deux nombres distincts x1 et x2 et leurs images f(x1) et f(x2) alors l’accroissement moyen de f entre x1 et x2 se calcule par :
A = ∆y / ∆x = f(x2) – f(x1) / x2 – x1
F(x) = a (x-x1) + f(x1)
Interprétation graphique.
La droite représentant f pass par les points (x1 ; f(x1)) et (x2 ; f(x2)
∆y / ∆x est le coefficient directeur de la droite
La droite a pour équation : y = a(x-x1) + f(x1) où a = ∆y / ∆x
Exemple : fabrication et vente de tapis. Coût de fabrication
288€ pour 120 tapis
345€ pour 150 tapis
Coût de fabrication s’exprime en fonction du nombre de tapis par une fonction affine.
- Calculer le coefficient directeur de la droite
X= nombre de toupies
Y= coût de fabrication
X1 = 120 y1= f(x1)= 288
X2 = 150 y2= f(x2)= 345
a= ∆y / ∆x = y2 – y1 / x2 -x1 = 345 -288 / 150 -120
= 57 / 30
A = 1,9
- En déduire l’expression de la fonction affine
F(x) = a(x – x1) + f(x1)
= 1,9 (x – 120) + 288
= 1,9x – 120 * 1,99 + 288
F(x)= 1,9x + 60
- Chaque toupie est vendue 2,5 €. Exprimer la fonction g qui donne le prix en fonction du nombre de toupies vendues.
F : coût de production en fonction nombre de toupies
G : prix vente en fonction nombre de toupies
Bénéfice : prix vente – coût de production g(x) – f(x)
Je vends N toupies
Quel bénéfice sur chaque toupies vendues ?
Bénéfice total pour N toupies : g(N) – f(N)
Bénéfice unitaire : g(N) – f(N) / N
- Dérivée d’une fonction
- Nombre dérivé et tangente
- Si on connaît la fonction par son expresion f(x), on calcule f’(x), f’ étant la fonction dérivée de f.
Et on calcule ensuite la valeur particulière f’(a) pour x=a
- Dérivée d’une fonction du premier ou second degré
Soient a, b et c des réels.
F(x)= ax² + bx + c
a≠0 -> second degré
a=0 -> premier degré
Si f(x) = bx, f’(x) = b
Si f(x) = bx+ c, f’(x) = b
Si f(x) = x², f’(x) = 2x
F(x) = ax², f’(x) = 2ax
Si f(x) = ax² + bx + c, avec a≠0
F’(x) = 2ax + b : second degré
Application :
F(x)= 3x – 2
G(x)= 5x² + 8x -3
B(x)= -2x² + 3x -1
Calculer f’(x) = 3
G’(x) = 2 * 5x + 8 = 10x + 8
H’(x) = -4x + 3
- Signe de la dérivée et variation d’une fonction
Si la dérivée f’ d’une fonction f est positive sur un intervalle I, la fonction f est croissante sur I.
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