Ch 4 : Logarithmes

Ch 4 : Logarithmes

1. Définition du logarithme népérien

Définition : La fonction logarithme népérien est la primitive définie sur , de la fonction , qui s'annule pour . Elle est notée ln.[pic 1][pic 2][pic 3]

Remarque : Seuls les nombres strictement positifs ont un logarithme népérien (les nombres négatifs n'ont pas de logarithme népérien).

Exemple : La dérivée de la fonction  est la fonction .[pic 6][pic 7]

Exemple : Sur , une primitive de la fonction  est la fonction .[pic 8][pic 9][pic 10]

Définition : Soit u une fonction strictement positive sur un intervalle I. La fonction  est la fonction définie sur I par .[pic 11][pic 12]

Remarque : L'égalité  signifie que l'image du réel x par la fonction  est le logarithme népérien de l'image de x par la fonction u.[pic 13][pic 14]

Exemple : La fonction  est de la forme  avec .[pic 15][pic 16][pic 17]

Propriété : Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle ouvert I. On admet que la fonction  est dérivable sur I et sa fonction dérivée est la fonction .[pic 18][pic 19]

Exemple : La dérivée de la fonction  est la fonction .[pic 20][pic 21]

Justification : La fonction  est de la forme  avec .  donc la dérivée de la fonction  est la fonction .[pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27]

Propriété : Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle ouvert I. Une primitive de la fonction  est la fonction .[pic 28][pic 29]

Exemple : Une primitive de la fonction  est la fonction .[pic 30][pic 31]

N°19 à 28 p 118

N°30 à 37 p 118-119

1. Propriétés algébriques des logarithmes népériens

1. Soit a un réel strictement positif et f la fonction définie sur  par .[pic 32][pic 33]

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