Capsule GeoGebra - Calcul différentiel et intégral

Capsule GeoGebra  -  Calcul différentiel et intégral

Fonctions logistiques

APPLICATION : La figure ci-dessous présente le nombre de ménages reliés à internet aux États-Unis chaque trimestre, depuis le début de l’année 1999 jusqu’à la fin du premier trimestre de 2001. De nombreux analystes pensaient à ce moment que le nombre d’utilisateurs internet était en train d’atteindre un plateau. (Source : Waner, Costenoble, p. 122)

[pic 1]

Bien que la première partie du graphique (de t=0 jusque t=4, approximativement) ressemble à une fonction exponentielle, sa croissance semble ensuite ralentir, pour atteindre un plateau horizontal. Ce type de fonction se retrouve fréquemment lorsque l’on représente la demande pour une nouvelle technologie ou un nouveau produit, il s’agit d’une fonction logistique.

Plus précisément, une fonction logistique est de la forme 

[pic 2]

où ,  et  ( et ) sont des constantes.[pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

Dans l’application présentée plus haut, le nombre de ménages reliés à internet aux États-Unis peut être modélisé par la fonction logistique suivante :

[pic 8]

où  est le nombre de trimestres depuis le début de l’année 1999.[pic 9]

Exercice :

1. À l’aide de GeoGebra, visualisez la fonction N(t) et sa dérivée N’(t). (Remarque : La commande appropriée est tout simplement Dérivée[N])

[pic 10]

1. Comparez les signes de N’(t) avec la croissance de N(t). Observez-vous bien les liens indiqués à la diapositive 15 ?

Réponse :

 la dérivée positive N’(t)>=0，N(t) est croissante. Ici, N’(t) s’approche vers 0 mais s’annuelle jamais. Dans l’intervalle ，le nombre d’utilisateurs d’internet est le plus grand au 9ème trimestre.[pic 11]

1. Visualisez maintenant la dérivée seconde N’’(t). (Remarque : La commande appropriée est tout simplement Dérivée[N’])

[pic 12]

1. Comparez les signes de N’’(t) avec la (dé)croissance de N’(t) et les valeurs les plus basses/hautes de N(t). Observez-vous bien les liens indiqués à la diapositive 17 ?

Réponse : 

Quand la dérivée seconde N’’(t) est positive, N’(t) est croissante, ainsi on peut identifier un minimum. Quand N’’(t) est négative, N’(t) est décroissante, ainsi on peut identifier un maximum.

1. Selon les graphiques, déterminez le temps t correspondant à la plus forte croissance du nombre de ménages reliés à internet. Faites les liens avec les dérivées N’(t) et N’’(t). Quel était alors ce taux de croissance ?

Réponse :

[pic 13]

Selon le graphique, la pente la plus forte paraît sur l’intervalle [0,5], c’est la prériode avec la plus forte croissance. Pendant 5 trimestres, La croissance moyenne trimestrielle est (55.3-24.7)/5=6.12 millions. Après 5 trimestres, le nombre augmente 5.72 millions par trimestre. Le taux de croissance est de  –0.67, càd après 5 trimestres, le nombre diminue de 0.67 millions par trimestre. De moins en moins de nouveaux utilisateurs d’internet au fur et à mesure du temps.

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