Etude de la stabilisation d'un satellite par gradient de gravité

ÉTUDE DE LA STABILISATION D'UN SATELLITE PAR GRADIENT DE GRAVITÉ

Remarque : l’énoncé admet, parfois implicitement, que le centre d’inertie du satellite a un mouvement circulaire uniforme ; la justification que les oscillations ne perturbent pratiquement pas ce mouvement se trouve en II.3.d.

I - SATELLITE EN FORME D'HALTĒRE

 1) Le moment en [pic 1] des forces de gravitation est nul pour [pic 2], [pic 3] et [pic 4] :

• si [pic 5], les supports des forces passent par [pic 6] ;
• si [pic 7], les deux forces, symétriques par rapport à [pic 8], ont des moments opposés.

2)  [pic 9]

 [pic 10] qui est parallèle à [pic 11].

Pour un point [pic 12] proche de [pic 13], en notant [pic 14] et [pic 15] les projections de [pic 16] sur [pic 17] et [pic 18] :
[pic 19]
D’autre part, [pic 20]. D’où [pic 21][pic 22]

3) Plaçons nous dans le référentiel tournant [pic 23]. Les moments en [pic 24] des forces d’inertie de Coriolis et de la tension de la tige sont nuls, car les supports de ces forces passent par [pic 25]. Montrons que le moment des forces d’inertie d’entraînement est nul : [pic 26] car [pic 27] parallèle à [pic 28].

Dans [pic 29], le moment des forces se réduit à celui des forces de gravitation. Soit [pic 30] le moment d’inertie du satellite.
[pic 31]

Si [pic 32] petit, [pic 33] ; l’équation devient [pic 34], avec [pic 35]et la période d’oscillation est [pic 36].

II - SATELLITE PLAN

1.a) Dans le référentiel géocentrique [pic 37], [pic 38].

1.b) [pic 39] est vrai quels que soient [pic 40], [pic 41] et [pic 42], variables indépendantes. En identifiant leurs coefficients dans les deux membres de cette égalité, [pic 43].

1.c) Le moment des forces de gravitation en [pic 44] est nul, car toutes ces forces ont des supports passant par [pic 45].

2.a) Dans [pic 46] et dans [pic 47], [pic 48].
Dans [pic 49], en utilisant le théorème de König et en tenant compte de ce que la masse du système est [pic 50], [pic 51]

2.b) Dans le référentiel géocentrique [pic 52], le moment cinétique [pic 53] en [pic 54]  est une constante du mouvement. En effet, les seules forces extérieures sont les forces de gravitation, dont les supports passent par [pic 55].

Dans le référentiel géocentrique [pic 56], l’énergie totale [pic 57] est une constante du mouvement. En effet, les forces intérieures ne travaillent pas puisque le satellite est indéformable et les forces extérieures dérivent de l’énergie potentielle [pic 58].[pic 59]

3.a) Soit [pic 60] et [pic 61] les projections de [pic 62]sur [pic 63] et [pic 64].
[pic 65] par définition des moments d’inertie.

[pic 66] par définition du centre d’inertie.
[pic 67]. Or [pic 68], [pic 69] et [pic 70]. D’où
[pic 71]

3.b)
[pic 72]
Le terme en [pic 73] n’est pas nul dans le cas général ; il l’est si le satellite a un centre de symétrie.

3.c) [pic 74]

Dans la partie I, [pic 75] et [pic 76] ; l’expression obtenue donne le même résultat qu’en I : [pic 77].

[pic 78].

3.d) [pic 79][pic 80].

[pic 81].

[pic 82].

Le terme principal de [pic 83] est [pic 84]. Sous l’action de cette force, le mouvement est circulaire uniforme. Il est intéressant de considérer le terme suivant du développement de [pic 85] , soit [pic 86], dont la variation maximale est [pic 87]. On voit que [pic 88] et la variation de [pic 89] sont négligeables devant le terme indépendant de [pic 90] du développement de [pic 91] ; les oscillations du satellite ne déforment guère son mouvement, qui reste sensiblement circulaire uniforme.

4.a) [pic 92].

La loi fondamentale de la dynamique appliquée au satellite s’écrit [pic 93], d’où [pic 94].

[pic 95].

4.b) Le moment en [pic 96] des forces d’inertie de Coriolis est nul, car les supports de ces forces passent par [pic 97]. Montrons que le moment des forces d’inertie d’entraînement est nul :
[pic 98] car [pic 99].

Le moment des forces est donc égal à celui des forces de gravitation. Le théorème du moment cinétique donne :
[pic 100]

4.c) Une orientation d’équilibre est stable si le moment des forces est une fonction décroissante de l’angle.

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