Les séries Chronologiques

Introduction

Une série chronologique est une suite, finie, composée d’observations numériques d’une variable aléatoire que l’on décide d’étudier en fonction du temps. Le principal champ d’applications de l’étude des séries chronologiques est l’économétrie bien qu’il existe beaucoup d’autres domaines où elles sont utilisées. Il existe plusieurs objectifs à cette étude parmi lesquelles la description, la modélisation, le contrôle et la prévision.

Une série chronologique possède 3 composantes. La première est la tendance qui traduit l’évolution à long terme du phénomène. Elle est représentée par une fonction linéaire ou non. La seconde composante est la saisonnalité qui représente des effets périodiques qui se reproduisent de façon similaire d’un cycle à l’autre. Enfin, on observe une composante résiduelle, appelée aussi bruit, qui est une partie non structurée du phénomène étudié.

Suivant différents modèles, ces composantes sont liées ou non. En effet, dans le modèle additif, la saisonnalité est indépendante de la tendance et est donc toujours la même. Au contraire, dans le modèle multiplicatif, la saisonnalité est liée, par la multiplication, à la première composante. Si la tendance est croissante, la saisonnalité sera alors de plus en plus importante. Le bruit n’est pas forcément fonction de la tendance, dans ce cas, on parle de modèle mixte.

Plusieurs méthodes permettent de trouver quel modèle est le plus adapté. Parmi lesquelles la méthode « de la bande » qui consiste à tracer 2 droites passant respectivement par les minima et maxima de la courbe. Si elles sont parallèles, alors on considère qu’il s’agit du modèle additif, multiplicatif le cas échéant.

Notions de cours

Lissage d’une série : la méthode des moyennes mobiles

La méthode des moyennes mobiles se décompose en fait en plusieurs méthodes à savoir les moyennes mobiles (MM) pondérés, centrées… Nous utiliserons ici les MM centrées.

La méthode consiste à créer une nouvelle série ayant un ordre k. Chaque point, d’indice i, est déduit, si possible, de la moyenne des valeurs allant de l’indice i-(k-1)/2 à i+(k-1)/2. Si l’ordre est pair, les valeurs aux l’extrémité sont pondérées (d’un coefficient de 1/2).

Illustration

indice 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

valeur 12 16 19 21 24 28 31 33 36 40

On ne peut pas calculer la valeur en 1. La MM en 2 est la moyenne des valeurs allant de 1 à 3.

On obtient ainsi le tableau suivant :

MM d’ordre 3 Perte d’info 15,7

On obtient ainsi une courbe plus lisse mais incomplète. Il s’agit en effet d’une méthode qui engendre une perte de données. Plus l’indice est élevé, plus le lissage sera fort mais plus la perte d’informations sera conséquente. Si on trouve des valeurs aberrantes, on peut privilégier l’utilisation de médianes plutôt que de moyennes.

Il faut donc choisir un bon ordre. Pour trouver un bon compromis entre une perte d’informations relativement faible avec un lissage convenable.

Technique similaire : la méthode du total mobile. Elle nécessite également de connaitre la durée d’un cycle. La méthode consiste à associer à une date t la somme des valeurs de la période qui la précède (si elle est annuelle, on additionne les valeurs de janvier a-1 à janvier a pour la valeur de janvier a). Cette technique permet de limiter la perte d’informations au début de l’exercice et non aux observations les plus récentes mais son utilisation empêche la décomposition des composantes.

La régression linéaire simple : la méthode des moindres carrés

La régression linéaire est une procédure qui consiste à chercher la droite passant au plus près d’un ensemble de points constituant notre série. Une RLS nécessite d’avoir une seule variable et d’avoir un modèle linéaire. La RLS la plus utilisée est la méthode des moindres carrés. Cette méthode consiste à minimiser la somme des écarts entre la droite et la courbe pour chaque point. Pour ce faire, on utilise la formule ∑▒((x-x ̅)(y-y ̅))/((x-x ̅)²) pour obtenir a. La valeur de b est alors obtenue en faisant l’opération y ̅-ax ̅. On obtient alors l’équation linéaire ax+b correspondant à la tendance de notre série chronologique.

Illustration

indice 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x ̅=5,5

valeur 12 16 19 21 24 28 31 33 36 40 y ̅=26

x_i-x ̅ ∑▒

y_i-y ̅

〖(x〗_i-x ̅)(y_i-y ̅)

〖(x_i-x ̅)〗^2

Après avoir complété le tableau, on effectue la division des deux sommes obtenues pour trouver le coefficient directeur de l’équation linéaire.

Après avoir effectué la méthode des moyennes mobiles et celle des moindres carrés, on a obtenu séparément la saisonnalité et la tendance. On déduit alors le bruit par la soustraction de ces composantes à la série initiale pour finir la décomposition. Pour une simple estimation sans création et étude de fonctions, une estimation par les moyennes mobiles sera plus précise qu’avec les moindres carrés.

Technique similaire : la méthode de Mayer. Elle consiste à diviser la suite en deux blocs égaux (s’il y a un nombre pair d’informations) la scindant en 2. On calcule la moyenne (en abscisse et en ordonnée) de chaque bloc. On obtient ainsi 2 points que l’on relie pour trouver la droite de tendance. Cette méthode est certes plus rapides mais se trouve être trop influencée par les valeurs extrêmes et nécessite donc un nombre important de valeurs. Une manière de limité l’influence de ces valeurs aberrantes est de ne pas choisir la moyenne mais la médiane de chaque bloc.

Désaisonnaliser une série chronologique

A partir de la méthode des moyennes mobiles. Une méthode issue des moyennes mobiles permet de supprimer la saisonnalité d’une série. Pour cela, il faut connaitre la durée d’une période et effectuer une MM d’ordre égal à cette durée. On soustrait alors les valeurs obtenues à la série initiale et on calcule

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