Descriptif de bandes interdites photoniques

CARATERISATIONS DES CRISTAUX PHOTONIQUES 2D POUR LE FILTRAGE FREQUENTIEL ET SPATIAL DE LA LUMIERE

Résumé

        Cet article présente une approche électromagnétique du phénomène de diffusion de la lumière dans un cristal photonique à deux dimensions. Elle comporte deux études à savoir : l’obtention de diagramme de bande dans un BIPs, pour la recherche de bandes de fréquences interdites, et la recherche de surface de dispersion, pour la localisation de l’énergie dans le BIPs.

Mots-clés :        Cristal photonique, BIP, Bandes interdites, Surface de dispersion.

Abstract

        This article presents an electromagnetic approach to the light propagation in a two dimensional photonic crystal. The first part of it is devoted to the determination of photonic band gap (PBG) diagram, in order to find the forbidden frequencies, and the second part covers the investigation of scattering surface, for energy localization in the PBGs.

Keywords: Photonic Crystal, PBGs, Band Gap, scattering surface.

1. Introduction

        L’analogie entre la propagation d’une onde électromagnétique (OEM) dans une structure de permittivité électrique périodique, et la propagation de l’onde d’un électron dans un cristal de potentiel électrique périodique a abouti au concept de bande interdite photonique (BIP ou photonic band gap : PBG) pour les OEM, analogue à la bande d’énergie interdite pour les électrons. Ainsi, comme pour les recherches sur les structures cristallines des matériaux semiconducteurs qui ont mené vers le « band gap engineering », les recherches sur les propriétés optiques des matériaux pour «guider» la lumière se sont développées. Le concept de diffraction de Bragg y a aussi apporté une grande contribution [1].

Les travaux présentés ici, sont basés sur l’utilisation de la méthode de décomposition en ondes planes. Cette méthode est utilisée pour l’obtention des diagrammes des BIPs. Une décomposition en onde plane du problème électromagnétique peut permettre de trouver les surfaces de dispersion des cristaux photoniques.

De ces études, les caractéristiques des BIPs pour le filtrage fréquentiel et spatial de la lumière seront mises en évidences.

2.  La méthode des ondes planes

        Soit la propagation d’une OEM  [pic 1]dans un réseau cristallin à deux dimensions , considéré sans perte et de permittivité électrique [pic 2].Elle est décrite par  est par l’équation d’onde [2],[3] :

[pic 3]                 (01)

Si [pic 4]est périodique l’Eq.01 peut être résolue en décomposant la norme complexe [pic 5]et[pic 6]en ondes planes, c'est-à-dire en série de Fourier spatiale.  

D’après le théorème de Bloch, on peut écrire que la permittivité diélectrique est le produit d’une onde plane [pic 7]par une fonction [pic 8]qui a la périodicité du réseau cristallin. [3], [4].

3. Diagramme de bande

Dans les matériaux BIPs à deux dimensions, les ondes électromagnétiques peuvent se propager suivant deux polarisations  (Fig.01) [2] :

• polarisation TM lorsque le champ électrique est parallèle à l’axe des tiges
• polarisation TE lorsque le champ magnétique est parallèle à l’axe des tiges

[pic 9]

Figure 01 : Polarisations possible dans une structure BIP 2D : TM et TE

3.1. Etude  pour un mode TM

        a. Décomposition en série de Fourier du champ électrique

On considère une onde polarisée TM se propageant dans un plan (O,x,y) dont champ électrique en un point[pic 10]est la forme [6] :

[pic 11]            (02)

L’équation 02 peut aussi s’écrire :

[pic 12](03)

Où [pic 13]et[pic 14]sont les composantes suivant les axes des x et des y du vecteur d’onde[pic 15].

L’amplitude complexe [pic 16]est une fonction périodique du plan. On peut développer cette fonction en série de Fourier spatiale en utilisant les vecteurs du réseau réciproque comme vecteurs de base.

Ainsi toutes les fonctions spatialement périodiques du réseau plan sont décomposées en série de Fourier spatiale :

• L’amplitude complexe de l’onde plane est donnée par [4]:

[pic 17](04)

        Avec

[pic 18]        (05)

        Où [pic 19]sont deux entiers, et [pic 20]et [pic 21]sont les vecteurs de base du plan (0,x,y). Cette décomposition est appelée « décomposition en ondes planes ».

• La distribution périodique de la permittivité est exprimée par [4] :

[pic 22]    (06)

Avec :

[pic 23]                (07)

Où [pic 24]représente l’aire de la cellule du réseau direct et [pic 25]est la permittivité du milieu diélectrique dans lesquels sont réparties les inhomogénéités diélectriques.

        Cette décomposition est appliquée à chaque composante de champs et à la distribution de la permittivité pour la résolution du problème de la propagation des OEM dans les milieux périodiques.

                b. Equation de propagation du champ électrique

        Les relations de Maxwell-Ampère (Eq.08) et de Maxwell-Faraday (Eq.09)

[pic 26]                            (08)

[pic 27]                (09)

nous permettent d’écrire que [5]

[pic 28]        (10)

et  

[pic 29]                (11)

où  [pic 30], :

...