Commandabilité et Observabilité

Filière :

«Génie Electrique et Contrôle des Systèmes Industriels»

GECSI-2

[pic 1]

Réalisé  par :

• FADEL Imane
• BOULAHLALEB Rihabe

Présentation du système électromécanique

On considère le système électromécanique suivant :

[pic 2]

On donne les caractéristiques suivantes :

• Fonction de transfert de l’ensemble  « ampli + Moteur » :

H(p) = =[pic 3][pic 4]

        Km=0.5 Tr/V.s    ;    Tm=0.5s

• Réducteur mécanique r=1/10
• Capteur de vitesse : tachymètre Vg=Kg Ω avec Kg=2V.s/tr
• Capteur de position angulaire Vp =Kp θr avec Kp=2 V/tr.

Objectif :

• Asservir la position angulaire θr à une tension de référence Vc affichée par un générateur de tension en utilisant la technique de la commande par retour d’état .
• Les variables d’état sont définies par x1(t)= Vp(t) et  x2(t)= Vg(t).
• La sortie du système est y(t)=x(t).

1. Modélisation du système

1. Modélisation du système sous forme d’équations d’état

On a  :                    =       =>  [pic 5][pic 6][pic 7]

                                        =>  [pic 8]

Avec         =[pic 9][pic 10]

                =>  [pic 12][pic 11]

                =>  [pic 13]

[pic 14]

                =>  [pic 15]

On a :

                         =[pic 16][pic 17]

                =>        [pic 18]

                =>        [pic 20][pic 21][pic 19]

                =>          [pic 22]

Alors :

[pic 23]

• [pic 24]
• [pic 25]

1. L’expression analytique du vecteur d’état x(t) :

X(t) =X(t0) + .B.u([pic 26][pic 27][pic 28]

X(t0)=  donc  X(t) = .B[pic 29][pic 30][pic 31]

                =>     X(t) = .B[pic 32][pic 33]

Calcul de :[pic 34]

  =[pic 35][pic 36]

-1=  => =  [pic 37][pic 38][pic 39][pic 40]

=  [pic 41][pic 42]

• .B=    = [pic 43][pic 44][pic 45][pic 46][pic 47]
• .B =[pic 48][pic 49][pic 50]
• X(t) = .B[pic 51][pic 52]
• X(t) =[pic 53]

= [pic 54]

[pic 55]

1. Les allures de cette solution :[pic 56]

[pic 57]

[pic 58]

1. Temps de réponse : τ=1.5s
2. Vérification de la commandabilité du système

Ce système est gouvernable si et seulement si :

Rang([B AB)]=2

Alors calculons le rang de cette matrice :

Rang =2 [pic 59]

• Le système est commandable  

1. Commande par retour d’état

Le cahier de charge de notre système est le suivant :

Un comportement d’ordre 2 avec les paramètres fondamentaux suivants 

• Coefficient d’amortissement : m=0.7
• Pulsation propre ωn=3rd/s

La commande est réalisée par un retour d’état  sous la forme : Vm=Vc(t)-Kx(t)

1.  Système oscillatoire amorti

 m < 1 on a 2 racines complexes conjuguées

 Le temps de réponse est minimum pour m=0,7  [pic 60][pic 61]

1. Le polynôme caractéristique en BF

Fonction de transfert

[pic 62]

H(p) =[pic 63]

D(p)=[pic 64]

1. Les équations d’état du système en BF

La loi de commande : Vm=Vc(t)-Kx(t)

Equation d’etat : [pic 65]

• [pic 66]
• [pic 67]
• 1X+B1Vc                                Avec 1=[pic 68][pic 69][pic 70]

B1=B

C1=C

1. Calcul de la matrice de retour d’état K=[K1 K2]

=[pic 71][pic 72]

        = [pic 73]

        =[pic 74]

Det[PI-(A-BK)]=[pic 75]

                        =[pic 76]

                        =[pic 77]

Par identification on a :

=9   =>1=45[pic 78][pic 79]

=4.2     =>=1.1[pic 80][pic 81]

• K=[K1 K2] = K=[44   1.1]

1. Schéma de réalisation pratique de la loi de commande :

[pic 82]

1. La valeur de la consigne Vc :

En régime permanent on a : [pic 83]

[pic 84]

[pic 85]

=0 => = 0.1 Vg[pic 86][pic 87]

• =0[pic 88]
• [pic 89]

=0 => = -90 Vp +2Vc[pic 90][pic 91]

...