Le Traitement D'images

INTRODUCTION

Le traitement d'images numériques désigne une discipline de l'informatique et des mathématiques appliquées qui étudie les images numériques et leurs transformations, dans le but d'améliorer leur qualité ou d'en extraire de l'information. Parmi les transformations effectuées sur les images numériques, on note entre autres le filtrage, la segmentation, l’analyse des textures, la compression d’images.

L'information contenue dans l'image peut être représentée de différentes façons afin de mieux mettre en évidence certaines propriétés des images. Les images peuvent être représentées soit dans le domaine spatial, soit dans le domaine fréquentiel qui fera l’objet de notre analyse. Ainsi, pour mieux appréhender cet aspect de l’image nous allons dans un premier temps définir la notion de représentation fréquentielle d’une image et par la suite indiquer les différents modes de filtrage des images dans ce domaine.

REPRESENTATION FREQUENTIELLE ET TRANSFORMEE DE FOURIER D’UNE IMAGE

Une image est avant tout un signal, elle possède des hautes et des basses fréquences. On peut par conséquent lui appliquer toutes les méthodes de traitement d’un signal notamment la transformée de Fourier.

I.1- Notion de hautes et basses fréquences d’une image

Dans une image une basse fréquence est caractérisée par une région homogène, un flou, tandis qu'une haute fréquence est caractérisée par un contour, un changement brusque d'intensité, un bruit. La plus grande partie de l'énergie d'une image se situe dans les basses fréquences.

Figure 1:frequences dans une image

I.2- Notions de transformée de Fourier d’une image

En traitement des signaux la transformée de Fourier est utilisée pour donner le spectre des signaux.

Pour ce qui est des images, on appelle spectre d’une image, la courbe de répartition des couleurs d’une image : niveaux de gris en X et nombre de pixels en Y.

Plusieurs transformées de Fourier sont applicables aux images.

I.2.1- Transformée continue bidimensionnelle

Soit x, y des variables spatiales ou temporelles et u, v des variables fréquentielles.

Avec F(u,v) la transformée de Fourier de la fonction spatiale f(x,y).

On voit bien ici que la transformée de Fourier permet de passer de la représentation spatiale à la représentation fréquentielle.

u est appelée fréquence spatiale dans la direction x, et v fréquence spatiale dans la direction y.

La fréquence spatiale u dans la direction x est une mesure de la rapidité d'évolution de l'intensité lumineuse dans l'image suivant les directions horizontales (idem pour v suivant les verticales). En particulier, la fréquence maximale d'une image dans la direction x est la moitié de l'inverse de la distance horizontale la plus courte reliant un point le plus lumineux, au point le moins lumineux (longueur de transition).

Conceptuellement, pour avoir la transformée de Fourier de f(x,y) dans la direction horizontale F(u,0), il faut multiplier f(x,y) par une image du type de la Figure 3 (qui représente l'harmonique n=5) qui est une sinusoïde ayant 5 barres blanches (=5 sinusoïdes pour le plan image) et on fait la moyenne du produit obtenu. Cette moyenne est F(u,0). On fait la même chose pour d'autres valeurs de u.

Pour une fréquence (u,v) quelconque, l'image à multiplier par f(x,y) est du type de la Figure 4. Celle-ci représente une sinusoïde avec u = 5 et v = 10 (combinaison multiplicative de 5 sinusoïdes dans la direction x et de 10 sinusoïdes dans la direction y). F(5,10) est la moyenne du produit de l'image f(x,y) par l’image de la Figure 4. D'une manière générale, la transformée de Fourier d'une image est la représentation d'une image dans l'espace de Fourier, qui est l'espace propre des transformées linéaires homogènes (les transformées linéaires homogènes conservent les sinusoïdes: la transformée linéaire homogène d'une sinusoïde du type de la Figure 4 est également une sinusoïde).

L'espace de Fourier est un espace dont le système d'axes est formé de tous les vecteurs (système complet orthonormé) qui sont toutes les sinusoïdes (pour u et v quelconques) du type de celles de la Figure 54. On projette l'image sur ces vecteurs et la "longueur" de la projection, donne la coordonnée de F (u,v) selon le vecteur e^2iπv.

I.2.2- Transformée discrète bidimensionnelle

Le problème de la transformée de Fourier est qu'elle est définie sur des espaces infinis, tandis que les images réelles ne le sont pas.

Nous partons d'une image analogique bornée, que l'on remplace par une concaténation périodique infinie de cette image suivant le schéma de la figure ci –dessous.

L'image ainsi obtenue est une image infinie sur laquelle le concept de transformée de Fourier est applicable. Il s'agit maintenant de passer à son implémentation numérique : il faut discrétiser les équations.

On discrétise l'image analogique I0 en un réseau de M x N points, distants de Dx les uns des autres suivant x, et de Dy suivant y. On obtient ainsi :

f(x,y) = f(x0+x.Dx, y0+y.Dy)

(x0, y0) est une origine quelconque de la discrétisation. Cette origine quelconque est permise par l'effet de la concaténation infinie. Dans la notation choisie, x et y deviennent des nombres entiers. Dans la détermination principale de l'image infinie, les valeurs de x et y varient respectivement entre 0 et M-1, et entre 0 et N-1. Ces nombres M et N indiquent l'ordre des points d'espace Dx et Dy.

L'espace fréquentiel est également infini. Comme l'image f est périodisée, il en est de même pour sa transformée de Fourier. Sa période est

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