Présentation de la démonstration d'Andrew Wils

Après avoir été l'objet de fiévreuses recherches pendant près de 350 ans, n'aboutissant qu'à des résultats partiels, le théorème a finalement été démontré par le mathématicien Andrew Wiles4, au bout de huit ans de recherches intenses, dont sept dans le secret le plus total. La démonstration, publiée en 1995, recourt à des outils très puissants de la théorie des nombres : Wiles a prouvé un cas particulier de la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil, dont on savait depuis quelque temps déjà, via les travaux de Yves Hellegouarch en 1971 (note au CRAS), puis de Gerhard Frey, Jean-Pierre Serre et Ken Ribet, qu'elle impliquait le théorème. La démonstration fait appel aux formes modulaires, aux représentations galoisiennes, à la cohomologie galoisienne, aux représentations automorphes (en), à une formule des traces (en)…

La présentation de la démonstration par Andrew Wiles s'est faite en deux temps5,6 :

En juin 1993, en conclusion d'une conférence de trois jours, il annonce que le grand théorème de Fermat est un corollaire de ses principaux résultats exposés. Dans les mois qui suivent, la dernière mouture de sa preuve est soumise à une équipe de six spécialistes (alors que trois suffisent d'habitude) nommés par Barry Mazur ; chacun doit évaluer une partie du travail de Wiles. Parmi ces jurés figurent Nick Katz et Luc Illusie, que Katz a appellé en juillet pour l'aider ; la partie de la preuve dont il a la charge est en effet très compliquée : on doit réussir à appliquer le système d'Euler. Font aussi partie des jurés Gerd Faltings, Ken Ribet et Richard Taylor, tous travaillant dans la plus grande confidentialité. L’atmosphère est tendue, le poids du secret, lourd à porter. Après que Katz ait transmis à Wiles quelques points à préciser, que celui-ci clarifie rapidement, les choses commencent à se gâter : Nick Katz et Luc Illusie finissent par admettre qu'on ne peut pas à établir dans la preuve, pour l’appliquer ensuite, le système d'Euler, alors que cet élément est considéré comme vital pour la faire fonctionner. Peter Sarnak (en), que Wiles avait mis dans la confidence de sa découverte avant la conférence de juin, lui conseille alors de se faire aider par Taylor. Les tentatives pour combler la faille se révèlent pourtant de plus en plus désespérées, et Wiles, maintenant sous le feu des projecteurs, vit une période très difficile, il est à bout de forces et pratiquement résigné. Ce n’est que neuf mois plus tard que se produira le dénouement.

Le 19 septembre 1994, reprenant une ligne d’attaque utilisée trois ans auparavant, il contourne et résout finalement le problème de Flach-Kolyvagin. Le 25 octobre 1994, deux manuscrits sont diffusés : Les courbes modulaires elliptiques et le Dernier Théorème de Fermat (Andrew Wiles), et Les propriétés annulaires théoriques de certaines fonctions de Hecke (Richard Taylor et Andrew Wiles). Le premier, très long, annonce entre autres la preuve, en se fondant sur le second pour un point crucial. Le document final est publié en 19957.

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