Trigonométrie

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I - Cercle trigonométrique

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1. Enroulement de la droite des réels[pic 4]

Dans un repère orthonormé (𝑂 ; 𝑖⃗ , 𝑗⃗), on considère le cercle trigonométrique , et la droite (AC) tangente au cercle en A munie du repère (𝐴  ; 𝑗⃗) telle que ⃗𝐴⃗⃗⃗𝐶⃗⃗ = 𝑗⃗

Si l’on « enroule » la droite autour du cercle, on associe à tout point N d’abscisse x de la droite graduée (AC), un unique point M du cercle . Le demi-axe d’origine A passant par C représentant les réels positifs est enroulé autour du cercle  dans le sens direct.[pic 5]

Le demi-axe d’origine A représentant les réels négatifs est enroulé autour du cercle dans le sens indirect.

La longueur de l’arc 𝐴𝑀 est ainsi égale à la longueur AN. On dit que le point M est l’image du réel x .[pic 6]

1. Quelle est la longueur du cercle ?

2π………………………………………………………………………[pic 7]

[pic 8][pic 9]

1. Quelle est la longueur du petit arc AB π/2 ; du grand arc AB 3π/2 et de l’arc AE π?

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1. En déduire les points du cercle  associés à chacun des nombres suivants :

0 ; 𝜋 ; −𝜋 ; 𝜋; −𝜋; 2𝜋; −3𝜋 ; 3𝜋.[pic 10][pic 11][pic 12][pic 13]

2        2        2        2

1. Mesure en radian[pic 18][pic 19]

Sur la figure : AOM= 1 radian

Remarque :

La longueur de l’arc intercepté par un angle au centre étant proportionnelle à la mesure de cet angle, la mesure en radians d’un angle est proportionnelle à sa mesure en degrés.

De plus, un angle au centre plat de mesure 180° intercepte sur le cercle trigonométrique un demi-cercle (soit un arc de longueur π) ; cet angle a donc aussi pour mesure π rad

Plus généralement :        𝑴𝒆𝒔𝒖𝒓𝒆 𝒆𝒏 𝒓𝒂𝒅𝒊𝒂𝒏𝒔 (𝑎) = 𝑴𝒆𝒔𝒖𝒓𝒆 𝒆𝒏 𝒅𝒆𝒈 𝒓é𝒔 (𝒅)[pic 20][pic 21]

𝝅        𝟏𝟖𝟎

Exemples :

1. Exprimer, en radians, une mesure d’angle de 50°. 5π/18
2. Exprimer, en degrés, une mesure d’angle de 7𝜋 rad. 78.75[pic 22]

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1. Plusieurs réels pour un seul point

A plusieurs points de la droite repérée on peut faire correspondre un même point du cercle, en effet, la droite peut s’enrouler plusieurs fois autour du cercle.

• Chaque point d’abscisse 𝑥 de la droite graduée vient s’appliquer sur un unique point M du cercle

appelé image du réel 𝑥 sur  (on dit aussi que 𝑥 est l’abscisse curviligne de M).

• A l’invesre, tout point M du cercle est l’image d’un réel 𝑥, mais il est aussi l’image des réels

𝑥 + 2𝜋, 𝑥 + 4𝜋, …., 𝑥 − 2𝜋 ; 𝑥 − 4𝜋,… dont l’écart à 𝑥 est un multiple du périmètre du cercle .

c'est- à-dire de tous les réels s’écrivant 𝑥 + 𝑘 × 2𝜋, avec 𝑘 ∈ ℤ (𝑖𝑒. 𝑘 entier relatif)

Exemples :        En s’appuyant sur le cercle trigonométrique ci-contre :[pic 23]

• les points N et P d’abscisses 3𝜋et −5𝜋 sur la droite graduée[pic 24][pic 25]

4        4

correspondent tous les deux au point M sur le cercle.

On a : 3𝜋 − −5𝜋= 2 𝜋        Soit : 3𝜋 = −5𝜋 + 8 𝜋/4[pic 26][pic 27][pic 28][pic 29]

4        4        4        4

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