Le nombre d'or

Le nombre d'or

Ici, je vais vous présenter les caractéristiques du nombre d'or, son utilisation...

1. Qu'est ce que le nombre d'or ?

Cette partie comportera des définitions du nombre d'or et de la spirale d'or.

a. Le Nombre d'or

Nombre d'or, section d'or, proportion divine sont des expressions synonymes désignant un rapport arithmétique. Il ne s'agit ni d'une mesure, ni d'une dimension mais d'un rapport entre deux grandeurs inégales a et b avec a étant plus grand que b.

Si on a A,B et M, trois points alignés formant une section dorée et si le point M du segment [AB] est tel que et ce qui signifie que AB> AM>MB.

Le rapport est égal au nombre d'or φ = soit environ 1,618033989...

Démonstration :

On a [AB] de longueur 1.

Le point M de [AB] est tel que AM=x, d'où MB = AB-AM = 1-x. Selon la section d'or M partage [AB].

Avec l'égalité des rapports et et sachant que = on en tire la conclusion .

Les produits des extrêmes 1-x est égal au produit des moyens de x².

Soit x² = 1-x d'où x²+x-1 = 0. Cette équation a pour solution positive :

≃ 1,61803398875 soit le nombre d'or.

Donc le rapport , inverse de , est donc égal au nombre d'or et donc le point M réalise une section d'or du segment [AB].

b. La spirale d'or

Une spirale d'or est une figure mathématique dont les proportions doivent correspondre et être construites à partir du nombre d'or.

La figure de la spirale d'or est construite à partir d'un rectangle d'or ABCD, avec AB = 1 et

BC = = φ .

Du grand rectangle d'or ABCD, on retire le grand carré ABA'D' et on obtient le petit rectangle A'CDD' de côté 1/φ et 1.

Puis dans le petit rectangle A'CDD', on réitère l'opération et on retire le petit carré A'CEF donc on obtient un nouveau petit rectangle d'or DD'FE de coté 1/φ² et ½.Et ainsi de suite.

La spirale d'or est formée de quarts de cercles inscrits dans chaque carré. On obtient une spirale équiangulaire qui se rencontrent souvent dans la nature tel que dans la coquille d'escargots, les coquillages, les tournesols...

Les diagonales des rectangles se coupent sur un même point M qui est le point limite de la spirale.

2. La notation de ce nombre et la suite de Fibonacci

On note ce nombre à l'aide de la lettre grec φ (phi) en hommage au sculpteur grec Phidias (490 à 430 avant J-C) qui a construit la facade du Parthénon qui serait inscrite dans un rectangle d'or, cette notation a été introduite en 1914 par Théodore Cook.

On sait que est la solution positive de l'équation x²=x+1 soit .

Donc suivant la suite de Fibonacci, on obtient la suite suivante. Voici les 10 premiers termes de cette suite :

v1 = 1 v6 = 5+8 = 13

v2 = 2 v7 = 8+13 = 21

v3 = 1+2 = 3 v8 = 13+21 = 34

v4 = 2+3 = 5 v9 = 21+34 = 55

v5 = 3+5 = 8 v10 = 34+55 = 89

On

...