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Calcul propositionnel (Prédicat)

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Par   •  2 Mars 2020  •  Cours  •  2 045 Mots (9 Pages)  •  558 Vues

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Calcul propositionnel  (Prédicat)

Un prédicat est une proposition  p  qui est associée à la valeur d une variable  x

On note p(x)  le prédicat qui  dépend de x ( qui possède x pour paramètre)

p :étant la proposition (qui peut prendre la valeur vraie V (1)ou fausse F (0)  selon x )

              x: étant la variable  c ’ est à dire une  élément (valeur) qui  peut varier

             dans un ensemble E d objet  mathématiques (nombres , matrice , fonction….)

         

exemple 1 : « le nombre entier positif    x     est divible par 3 »

        [pic 1][pic 2]

                   L ensemble E =IN[pic 3]

 la   variable :

                                                                ici un nombre

                                                               qui prend ses valeurs dans E     [pic 4]

[pic 5]

            la proposition   p : le nombre est divisible par 3           

On voit que p est vraie V pour x= 6      : p(6) vraie                

                      P est fausse F pour    x=7   :p(7) fausse

  Exemple 2 :  « le quadrilatère                                      X          est  un carré

        [pic 6][pic 7]

                   L ensemble E des quadrilatères

                   Ici   E =       (figures à 4 cotés)                          la   variable :[pic 8]

                                                                                                   ici un quadrilatère

                                                                           qui prend ses formes dans l ensemble des quadrilatères E[pic 9][pic 10]

[pic 11][pic 12]

            la proposition   p (x) : Le quadrilatère est un carré[pic 13]

Un prédicat p(x)  qui est vrai  pour toutes les valeurs x de E 

est appelé assertion

exemples :

le nombre  réel x possède un carré  x² > 0

Quantificateur existentiel    [pic 14](il existe)[pic 15]

Exemple 1 :

« [pic 16][pic 17]IN , x est un multiple de 5  »

« Il existe au moins un entier naturel multiple de 5 »

Ce predicat est vrai car on peut trouver au moins un élement   x (un entier naturel ) pour lequel  la proposition est vraie

Par exemple x=10  mais bien sûr  il en existe une infinité .L important était d en trouver au moins un  !

Le prédicat est donc vrai V (1)

Exemple 2 :

« [pic 18][pic 19]IR ,   0x est différent de 0  »

«  il existe au moins un nombre  x appartenant de IR tel que 0 multiplié par x donne un résultat différent de 0 »

Ce predicat est   ( toujours) faux  F car si on multiplie 0 par n importe quel nombre on obtiendra toujours un résultat  égal à  0. (Il n existe pas de nombre réel qui multiplié par 0 donne un résultat non nul)

Attention :

« l entier naturel x est un multiple de 5  » est un prédicat qui peut être vrai V ou faux F

Selon la valeur de x   ( par exemple  V  pour 15 ,  F  pour 17  etc)

On ne peut  le savoir que si on connaît x

En revanche :

« [pic 20] x [pic 21]IN , x est un multiple de 5  » est un prédicat qui est (toujours) vrai V

Quantificateur universel   [pic 22](quelque soit )[pic 23]

Exemple1

« [pic 24]x [pic 25]IR , x² > 0 »  signifie « tout réel x possède un carré supérieur ou égal à 0 »

Ce prédicat est vrai V 

Exemple 2

 « [pic 26]x [pic 27]IR , x² >  0 »  signifie « tout réél x possède un carré supérieur  à 0 »

...

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