1+2+3+4+5.... = -1/12 !

Nous allons démontrer mathématiquement que la somme de tout les entiers naturels vaut -1/12 !

Mais rassurez-vous, la démonstration utilise que des additions et des soustractions et non pas de grands outils complexes mathématiques ! Il faut aussi savoir résoudre de simples équations, mais encore rien de bien méchant !

Donc commençons tout de suite par la démonstration ! :

Soient A,B,S trois sommes distinctes, avec S la somme des entiers naturels, telles que :

A=1-1+1-1+1-...

B=1-2+3-4+5-...

S=1+2+3+4+5+...

Commençons par déterminer A:

Par définition : A=1-1+1-1+1-...

On remarque que A=1-1+1-1+1-...=1-(1-1+1-1+1-...), soit A=1-A.

Donc A+A=1 donc 2A = 1 donc A = 1/2

Ensuite déterminons B :

Par définition : B=1-2+3-4+5-6+7-...

On remarque que B-A=0-1+2-3+4-...=-B

Donc 2B=A donc 2B = 1/2 donc B = 1/2/2 = 1/4

Et pour finir déterminons S, la somme des entiers naturels

Par définition : S=1+2+3+4+5+...

On remarque que S-B=0+4+0+8+0+12+0+...=4(1+2+3+4+5...), soit S-B = 4S

Donc S-4S = B donc -3S = B donc S = -B/3 donc S = -1/4/3

D'où S = -1/12

Donc la Somme des entiers naturels jusqu’à l'infini vaut : -1/12 !

Très intéressant et très surprenant comme résultat ! Comment le résultat de la somme de tout les entiers naturels peut être négatif ?! C'est complètement illogique mais bizarrement ce résultat est pourtant vrai ! Et en plus qui trouve son application dans le domaine de la physique notamment !

On peut aussi démontrer ce résultat physiquement avec l'effet Casimir, avec notamment les effets de fluctuations quantiques du vide entre deux plaques ! C'est même la physique qui démontre le mieux ce résultat, mais les calculs à effectuer sont d'un tout autre niveaux !

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