Les dérivations

Première générale        Séquence n°4            Mathématiques

Dérivation (1)

1. Nombre dérivé et tangente

1.1. Taux de variation

Définition : Soient  une fonction définie sur un intervalle , et  et  deux nombres réels distincts appartenant à . On appelle taux de variation de  entre  et , le nombre suivant : [pic 9][pic 10][pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8]

[pic 11]

[pic 12]

Graphiquement, il correspond au coefficient directeur (ou la pente) de la droite  avec   et , [pic 13][pic 14][pic 15]

Exemple : Le taux de variation de la fonction cube entre 1 et 3 est :

  [pic 16]

Remarque : dans d’autres disciplines (en sciences physiques notamment), si , on utilise la notation  pour désigner un taux de variation. Si y représente l’évolution d’une distance parcourue en fonction du temps, le taux de variation entre  et  est égal à la vitesse moyenne de déplacement entre les instants  et .[pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22]

1.2. Nombre dérivé

Définition : Soient  une fonction définie sur un intervalle , et  un nombre appartenant à . Soit  un nombre réel non nul tel que  appartienne à . [pic 30][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29]

On dit que  est dérivable en  lorsque le taux de variation de  entre  et   tend vers un nombre réel lorsque  tend vers zéro. [pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35][pic 36]

Ce nombre réel est alors appelé le nombre dérivé de  en  et est noté .[pic 37][pic 38][pic 39]

Ainsi, lorsque  est dérivable en , on peut écrire :[pic 40][pic 41]

[pic 42]

Exemple : La fonction carré est-elle dérivable en 3 ?

 et .[pic 43][pic 44]

Donc .[pic 45]

 donc  est dérivable en 3 et .[pic 46][pic 47][pic 48]

Remarques :

• Il existe des fonctions qui ne sont pas dérivables partout (exemple : la fonction valeur absolue en 0).
• Sciences Physiques : Si  représente l’évolution d’une distance parcourue en fonction du temps, alors  correspond à la vitesse instantanée de déplacement à l’instant . [pic 49][pic 50][pic 51]
• SES : Si  représente l’évolution du coût de production en fonction du nombre d’articles produits, on admet que pour un grand nombre d’articles produits, f’(a) correspond au coût marginal pour une quantité d’articles égale à  (c’est-à-dire le cout supplémentaire occasionné par la production d’un article supplémentaire).[pic 52][pic 53]

1.3. Tangente à une courbe

On considère, dans cette partie, une fonction  dérivable en un réel  et  le point de la courbe représentative de la fonction  (donc de coordonnées .[pic 54][pic 55][pic 56][pic 57][pic 58]

[pic 59][pic 60]

Définition : On appelle tangente en A à la courbe représentant  la droite passant par  et qui a pour coefficient directeur .[pic 61][pic 62][pic 63]

Exemple : On a démontré que la fonction carrée est dérivable en 3 et que .[pic 64]

Cela signifie que la courbe représentant la fonction carrée admet au point A(3 ; 9) une tangente de coefficient directeur 6.

[pic 65]

Remarque : La tangente correspond ainsi à la position limite des sécantes à la courbe passant par le point  comme le montre l’illustration ci-contre :[pic 66]

• Savoir-faire n°1 : Lire graphiquement un nombre dérivé (44 p21)
• Savoir-faire n°2 : Construire la tangente en un point à une courbe représentative connaissant le nombre dérivé (52p122).
• Savoir-faire n°3 Interpréter le nombre dérivé en contexte : pente d’une tangente, vitesse instantanée, coût marginal… (73 p125)

Propriété : La tangente à la courbe représentative de la fonction  au point d’abscisse  a pour équation réduite .[pic 67][pic 68][pic 69]

Démonstration : Notons T la tangente au point A. T étant une droite, une équation est de la forme : .[pic 70]

Par définition de la tangente au point [pic 71]

- son coefficient directeur est  donc :             [pic 72][pic 73][pic 74]

-  est un point de la droite donc ses coordonnées vérifient l’équation :                                                           [pic 75][pic 76]

Grace à   on a :  [pic 77][pic 78]

Et en remplaçant dans , on obtient :   puis par factorisation :       [pic 79][pic 80][pic 81]

Exemple : Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentant la fonction carrée au point d’abscisse 3.

Au point d’abscisse 6, la tangente à la courbe a pour équation :

[pic 82]

On a montré précédemment que pour la fonction cube on a .[pic 83]

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