Le nombre dérivé.

Le nombre dérivé

Dans cette partie, on considère une fonction f et un intervalle ouvert I inclus dans l'ensemble de définition de f.

ALe taux d'accroissement

Taux d'accroissement

Soit un réel a appartenant à l'intervalle I.

Pour tout réel h non nul, on appelle taux d'accroissement ou taux de variation de f entre a et a+h le quotient :

f(a+h)−f(a)h

En posant x=a+h, le taux d'accroissement entre x et a s'écrit :

f(x)−f(a)x−a

Nombre dérivé

Soit a un réel de l'intervalle I. La fonction f est dérivable en a si et seulement si son taux d'accroissement en a admet une limite finie quand h tend vers 0 (ou quand x tend vers a dans la deuxième écriture possible du taux d'accroissement).

Cette limite, si elle existe et est finie, est appelée nombre dérivé de f en a, et est notée f′(a) :

limh→0f(a+h)−f(a)h=limx→af(x)−f(a)x−a=f′(a)

On considère la fonction f définie pour tout réel x par f(x)=x2+1.

Son taux d'accroissement en 1 est égal à :

(x2+1)−(12+1)x−1=x2−1x−1=(x+1)(x−1)x−1=x+1

Or :

limx→1(x+1)=2

On en déduit que la fonction f est dérivable en 1 et que le nombre dérivé de f en 1 est f′(1)=2.

"Une limite finie l quand h tend vers 0" signifie "devient aussi proche que l'on veut d'un réel l lorsque h est suffisamment proche de 0".

BLa tangente à la courbe représentative d'une fonction en un point

Tangente

Soit un réel a de l'intervalle I. Si f est dérivable en a, sa courbe représentative admet une tangente non parallèle à l'axe des ordonnées au point de coordonnées (a;f(a)), de coefficient directeur f′(a), dont une équation est :

y=f′(a)(x−a)+f(a)

-

Sachant que la fonction f définie par f(x)=x2+1, est dérivable en 1, on peut établir une équation de la tangente à sa courbe au point d'abscisse 1 :

y=f′(1)(x−1)+f(1)

Or, on sait que :

f′(1)=2

f(1)=12+1=2

Une équation de la tangente cherchée est donc :

y=2(x−1)+2

y=2x−2+2

y=2x

IILa fonction dérivée

ALa dérivée sur un intervalle

Fonction dérivée

Une fonction f est dérivable sur un intervalle I si et seulement si elle est dérivable en tout réel de cet intervalle.

On appelle alors fonction dérivée de f sur I la fonction notée f′ qui, à tout réel x de I, associe f′(x).

Dérivée seconde

Soit une fonction f dérivable sur un intervalle I.

Si f′ est également dérivable sur I, la dérivée de f′ sur I, notée f″, est appelée dérivée seconde de f sur I ou dérivée d'ordre 2 de f sur I.

BLes dérivées des fonctions usuelles

Soient un réel λ et un entier naturel n ; on désigne par Df le domaine de définition de f et par Df′ son domaine de dérivabilité.

f(x) f′(x) Df Df′

λ 0 ℝ ℝ

x 1 ℝ ℝ

xn (n≥1) nxn−1 ℝ ℝ

1xn (n≥1) −nxn+1 ℝ∗ ℝ∗

x⎯⎯√ 12x⎯⎯√ ℝ+ ℝ+∗

CLes opérations sur les dérivées

Soient λ un réel, u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I.

f f′

λu λu′

u+v u′+v′

uv u′v+uv′

1v

(si v ne s'annule pas sur I ) −v′v2

uv

(si v ne s'annule pas sur I ) u′v–uv′v2

Les fonctions polynômes sont dérivables sur ℝ.

Si f est une fonction polynôme d'expression f(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0, alors sa dérivée, f′, admet pour expression :

f′(x)=nanxn−1+(n−1)an−1xn−2+⋯+a1

On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x)=6x4−3x2+5x−2.

Comme fonction polynôme, f est dérivable sur ℝ et sa dérivée f′ a pour expression :

f′(x)=6×4x3−3×2x+5×1+0

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