Examen algèbre 1cpst s1

E.S.I.        18-02-2010        1.C.P.        Sections A et B        Algèbre 1        Durée : 2H

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Examen Semestriel

L0 usage de la calculatrice et du mobile est interdit:

1- Montrer que f est un endomorphisme de groupes.

2- Déterminer ker f et Im f.

3- f est-elle injective? surjective? bijective?.

Exercice 2 : (5 pts)

Dire si les assertions suivantes sont vraies ou fausses en justi…ant :

1- Si deux polynômes de C [X] ont les mêmes racines alors ils sont égaux:

2- Tout polynôme de R [X] de degré impair admet au moins une racine réelle.

3- Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.

X (X + 1) (2X + 1) divise (X + 1)2n        X2n        2X        1:

Exercice 3 : (6 pts)

I/ Soit A un polynôme à coe¢ cients dans K (où K = R ou C), s’écrivant :

A (X) = (X        )m Q (X) , où m 2 N ,        2 K et Q (X) 2 K [X] .

1/ Donner une condition pour que        soit une racine de A de multiplicité m.

2/ On suppose que A est impair et que        est une racine de A de multiplicité m.

Montrer que        est aussi racine de A de multiplicité m.

II/ Soit  P un polynôme à coe¢ cients dans R, donné par :

• =X9+2X7+3X5+2X3+X

1/ Montrer que = j est une racine de P , puis déterminer son ordre de multiplicité. (On rappelle que j est le nombre complexe, de partie imaginaire positive, racine de X2 +

• + 1).

2/ En déduire : La factorisation de P dans C [X] puis dans R [X].

Exercice 4 : (3,5 pts)

X3        X

Décomposer dans R (X) la fraction dé…nie par : F (X) = (X2        1)3 (X2 + 1)2 .

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Bon courage

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