Ensembles de nombres

Exercice 1 :

1. Soit et deux réels positifs ou nuls.

a. Développer

b. En déduire que

2. On considère les deux suites et définies par , et, pour tout entier

naturel n, et .

a. Calculer les valeurs exactes de , , et .

b. Démontrer que, pour tout entier , .

Indication : Pour , on peut écrire et en fonction de et .

c. Montrer que et sont monotones à partir du rang .

Exercice 2 :

On note et . Dans le premier DM de cette année, on a vérifié que et

sont solutions de l’équation .

1. Pour tout nombre entier , on pose .

a. Calculer , et .

b. A l’aide de l’équation , vérifier que, pour tout nombre entier naturel , on a :

c. En déduire que, pour tout nombre entier naturel , on a :

On appelle cette suite la suite de Fibonacci.

2. Afin de d’obtenir les termes de la suite on réalise une fonction F

sur Python. Recopier et compléter sur votre copie le parties en

pointillé du programme ci-contre.

3. On pose pour tout entier , et .

a. Faire un programme permettant de calculer les termes des

la suite .

b. (BONUS) Pour les grandes valeurs de , quelles sont les valeurs de ?

Conjecturer la limite de la suite .

x y

( x − y)

2

x y ≤

x + y

2

(un) (vn) u0 = 1 v0 = 4

un+1 = un + vn

2

vn+1 = unvn

u1 u2 v1 v2

n ≥ 1 vn ≤ un

n ≥ 1 un vn un−1 vn−1

(un) (vn) 1

α = 1 + 5

2 β = 1 − 5

2

α

β (E) : x2 = x + 1

n Fn = 1

5

(αn − βn)

F0 F1 F2

(E) n

αn+2 − βn+2 = αn+1 − βn+1 + αn − βn

n Fn+2 = F

...