Calcul propositionnel (Prédicat)
Cours : Calcul propositionnel (Prédicat). Recherche parmi 300 000+ dissertationsPar Quentin Petit • 2 Mars 2020 • Cours • 2 045 Mots (9 Pages) • 545 Vues
Calcul propositionnel (Prédicat)
Un prédicat est une proposition p qui est associée à la valeur d une variable x
On note p(x) le prédicat qui dépend de x ( qui possède x pour paramètre)
p :étant la proposition (qui peut prendre la valeur vraie V (1)ou fausse F (0) selon x )
x: étant la variable c ’ est à dire une élément (valeur) qui peut varier
dans un ensemble E d objet mathématiques (nombres , matrice , fonction….)
exemple 1 : « le nombre entier positif x est divible par 3 »
[pic 1][pic 2]
L ensemble E =IN[pic 3]
la variable :
ici un nombre
qui prend ses valeurs dans E [pic 4]
[pic 5]
la proposition p : le nombre est divisible par 3
On voit que p est vraie V pour x= 6 : p(6) vraie
P est fausse F pour x=7 :p(7) fausse
Exemple 2 : « le quadrilatère X est un carré
[pic 6][pic 7]
L ensemble E des quadrilatères
Ici E = (figures à 4 cotés) la variable :[pic 8]
ici un quadrilatère
qui prend ses formes dans l ensemble des quadrilatères E[pic 9][pic 10]
[pic 11][pic 12]
la proposition p (x) : Le quadrilatère est un carré[pic 13]
Un prédicat p(x) qui est vrai pour toutes les valeurs x de E
est appelé assertion
exemples :
le nombre réel x possède un carré x² > 0
Quantificateur existentiel [pic 14](il existe)[pic 15]
Exemple 1 :
« [pic 16]x [pic 17]IN , x est un multiple de 5 »
« Il existe au moins un entier naturel multiple de 5 »
Ce predicat est vrai car on peut trouver au moins un élement x (un entier naturel ) pour lequel la proposition est vraie
Par exemple x=10 mais bien sûr il en existe une infinité .L important était d en trouver au moins un !
Le prédicat est donc vrai V (1)
Exemple 2 :
« [pic 18]x [pic 19]IR , 0x est différent de 0 »
« il existe au moins un nombre x appartenant de IR tel que 0 multiplié par x donne un résultat différent de 0 »
Ce predicat est ( toujours) faux F car si on multiplie 0 par n importe quel nombre on obtiendra toujours un résultat égal à 0. (Il n existe pas de nombre réel qui multiplié par 0 donne un résultat non nul)
Attention :
« l entier naturel x est un multiple de 5 » est un prédicat qui peut être vrai V ou faux F
Selon la valeur de x ( par exemple V pour 15 , F pour 17 etc)
On ne peut le savoir que si on connaît x
En revanche :
« [pic 20] x [pic 21]IN , x est un multiple de 5 » est un prédicat qui est (toujours) vrai V
Quantificateur universel [pic 22](quelque soit )[pic 23]
Exemple1
« [pic 24]x [pic 25]IR , x² > 0 » signifie « tout réel x possède un carré supérieur ou égal à 0 »
Ce prédicat est vrai V
Exemple 2
« [pic 26]x [pic 27]IR , x² > 0 » signifie « tout réél x possède un carré supérieur à 0 »
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