Le principe de l’intérêt composé

L’intérêt composé

Olivier Levyne (2009)

Docteur en Sciences Economiques

HDR en Sciences de Gestion

Professeur des Universités

Le principe de l’intérêt composé est utilisé pour les placements et les emprunts dont la date d’échéance est dans plus d’un an. Dans ce cas, les intérêts générés chaque année portent intérêt à leur tour. On parle alors de capitalisation ou de composition des intérêts.

1. Valeur future par capitalisation

Soit V0 le montant placé au taux nominal i pendant n années et Vn la valeur du patrimoine de l’investisseur au bout de n années. Vn porte ne nom de valeur acquise.

=

= = =

.

.

.

A titre d’exemple, le placement d’une somme de 15 000 € sur un livret A pendant 4 ans à 3% permet de porter le patrimoine de l’investisseur de V0 = 15 000 à :

V4 = 15 000. = 15 000.1,034 = 16 883 € dont 15 000 € de remboursement du capital (ou du principal) et 16 883 – 15 000 = 1 688 € d’intérêt

2. Valeur présente par actualisation

Inversement, si l’on connaît la valeur acquise Vn d’un placement au bout de n jours, il est possible d’en déduire sa valeur actuelle (ou valeur actualise) V0 :

La construction de plans de remboursement des crédits s’inscrit dans cette logique d’intérêts composés.

3. Annuités constantes

a. Valeur acquise d’une somme d’annuités constantes

On suppose qu’un investisseur place, chaque année, au taux d’intérêt i, un montant a.

Le premier versement a est réalisé à la date t=0

Le dernier versement a est réalisé à la date t=n.

Dans l’hypothèse où l’horizon des placements coïncide avec la date t=n, le dernier versement a n’a pas le temps de porter intérêt.

On a alors :

En additionnant toutes les valeurs capitalisées de toutes les sommes versées, la valeur acquise Vn du patrimoine de l’investisseur en t=n vérifie :

Vn =a(1+i)n + a(1+i)n-1 + a(1+i)n-2 + … + a(1+i)0 =

Or la somme des n+1 premiers termes d’une suite géométrique de raison égale à q s’écrit :

Ici q = 1+i

Donc :

Conclusion :

A noter que n désigne le nombre d’années de placement pour n+1 versements, le dernier versement ne produisant pas d’intérêt

Exemple

Un investisseur place, chaque année, au début du mois de janvier, une somme de 1000 €, sur un compte rémunéré à 3% par an. Combien récupère-t-il au bout de 10 ans.

Il s’agit de déterminer la valeur acquise par les 11 versements, dont seuls les 10 premiers produisent des intérêts. Dans ce cas, la valeur acquise V10 au bout de 10 ans vérifie :

V10 =

b. Valeur actuelle d’une somme d’annuités constantes

On cherche à de déterminer V0 qui vérifie :

Or la somme des n premiers termes d’une suite géométrique de raison égale à q s’écrit :

Donc, en remplaçant q par (1+i)-1, on a :

Finalement

4. Application à la valorisation d’une obligation

L’endettement à long terme d’une entreprise peut prendre deux formes :

- L’emprunt indivis lorsque le créancier est unique : il s’agit alors d’une banque (ou d’un syndicat bancaire)

- L’émission d’obligation lorsqu’il existe une pluralité de prêteurs. Ceux-ci détiennent alors des obligations, généralement négociables en bourse.

La valeur de l’obligation correspond à la somme des flux de trésorerie actualisés que ce titre doit procurer, dans le futur à son propriétaire, à savoir des intérêts et la valeur de remboursement.

Exemple

Un investisseur souscrit à l’émission d’une obligation dont les caractéristiques sont les suivantes :

- Nominal : 1 000 €

- Taux nominal (ou taux facial )fixe : 5%

- Remboursement dans 3 ans.

Vérifier que, lors de son introduction en bourse, la valeur de l’obligation est bien de 1 000 €

Immédiatement après l’émission de l’obligation, le taux de référénce du marché obligataire (TMO) est porté à 6%. A quel niveau de prix s’établit le cours de l’obligation ?

L’obligation représente un crédit de 1 000 € à 5%. Par conséquent, l’obligataire reçoit, à la fin de chaque année, un « coupon » (ou versement d’intérêts) de 1000 x 5% = 50 €

Soit V la valeur de l’obligation. V vérifie :

= 1 000 €

Si le TMO est porté à 6%, la valeur V’ de l’obligation

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