Calcul de la prime

Chapitre 3 : calcul de la prime  

1. Définition de la prime pure

Pour faire face au riscophobie, l’agent économique transfère tous ou une partie de ses risques à un assureur qui lui impose une prime qui doit être supérieur à la prime pure. La prime pure est le montant qui doit disposer l’assureur pour compenser les assurés lors de survenance des sinistres.            Il désigne le prix de risque. Le calcul de la prime pure doit prendre en considération les éléments suivants :

• Fréquence de sinistres
• Etendue des préjudices
• Somme assurée

2. Calcul de la prime pure

Soit [pic 1] une variable  aléatoire qui représente  la charge totale des sinistres   relative à une police déterminée  au cours d’une période  d’assurance et une constante [pic 2] qui désigne  la prime d’assurance qu’on cherche à approcher à la variable [pic 3]. Pour mesurer la proximité  entre [pic 4] et [pic 5] on utilise  la distance [pic 6] donnée par la formule suivante :

                          [pic 7]                                                                      [pic 8]

Sachant que :

[pic 9]

Or

[pic 10]

Alors

                                      [pic 11]                                                [pic 12]

où  [pic 13]  est une constante par rapport à [pic 14].

Donc  la valeur de [pic 15] qui minimise  [pic 16]  est  [pic 17], c'est-à-dire que  la constante [pic 18] est la plus proche de la variable aléatoire [pic 19] et qui peut la substituer en tant que prime pure.

Remarque :

On a [pic 20], ce qui implique que la variance  mesure la distance  qui sépare  les dépenses aléatoire [pic 21] de l’assureur de la  prime pure [pic 22] réclamée à l’assuré.

Aussi, on peut utiliser l’écart moyen absolu [pic 23] pour mesurer la proximité  entre  [pic 24]et [pic 25]  qui est définit comme suit :

                                                  [pic 26]                                                  [pic 27]

Or

[pic 28]

L’intégrons par parties implique que:

[pic 29]

[pic 30][pic 31]

Donc la constante  qui minimise [pic 32] est la médiane  [pic 33].

3. Approximation de la prime pure par l’inégalité de Bienaymé-Tchebycheff

Considérons  une variable  aléatoire  [pic 34] et  une  fonction  [pic 35].

Soit [pic 36]  une constante.  Selon Inégalité de Markov on a :  

                                [pic 37]                                               [pic 38]

Soient [pic 39] et  [pic 40] respectivement la moyenne et la variance de [pic 41]. Alors  d’après  l’inégalité  de  Bienaymé-Tchebycheff, [pic 42]  on a :

                                              [pic 43]                                                      [pic 44]

Remarque :

l’inégalité  de  Bienaymé-Tchebycheff est une application de l’inégalité  de  de Markov en mettant [pic 45]  et  [pic 46].

Soient [pic 47] et  [pic 48]  respectivement  le  montant de sinistre  et  la prime  pure  et [pic 49]. La probabilité  que  le montant [pic 50] des sinistres  [13] s’écarte  de  la prime pure [pic 51] de [pic 52]  est  inférieure  à  [pic 53] , c'est-à-dire :

                                                      [pic 54]                                          [pic 55]

Exemple :

Si  [pic 56]  alors   [pic 57].

4. Théorème de Convergence et la prime pure

4.1 Cas d’émission de polices identique  

Considérons une compagnie d’assurance qui émet [pic 58]  polices identique  et soit [pic 59]  la charge totale [pic 60] de moyenne [pic 61] et de variance [pic 62] associé  à  la police [pic 63] au cours d’une période de référence.

Notons par  [pic 64] la charge moyenne de sinistre  par police. Si les variables  [pic 65]  sont indépendantes identiquement  distribuées  et de variances finies alors  selon  la loi des grands nombres on a :

                                              [pic 66]                                          [pic 67]

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