Les Matrices

Matrice (mathématiques)

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En mathématiques, les matrices sont des tableaux de nombres qui servent à interpréter en termes calculatoires et donc opérationnels les résultats théoriques de l'algèbre linéaire et même de l'algèbre bilinéaire. Toutes les disciplines étudiant des phénomènes linéaires utilisent les matrices. Quant aux phénomènes non linéaires, on en donne souvent des approximations linéaires, comme en optique géométrique avec les approximations de Gauss.

L'article Théorie des matrices présente des applications pratiques des matrices.

Sommaire

• 1 Définitions

• 2 Espaces de matrices

o 2.1 Addition et multiplication par un scalaire

 2.1.1 Base canonique de l'espace des matrices

o 2.2 Produit matriciel

 2.2.1 Matrice identité et inverse d'une matrice

o 2.3 Algèbre des matrices carrées

o 2.4 Actions du groupe linéaire

• 3 Interprétations linéaires

o 3.1 Coordonnées

o 3.2 Applications linéaires

o 3.3 Systèmes d'équations linéaires

• 4 Interprétations bilinéaires

o 4.1 Matrice d'une forme bilinéaire

o 4.2 Matrice d'une forme quadratique

o 4.3 Formule de changement de base

o 4.4 Matrices congruentes

o 4.5 Matrices orthogonales

o 4.6 Matrices symétriques

o 4.7 Matrices antisymétriques

o 4.8 Matrice d'une forme sesquilinéaire

o 4.9 Matrices hermitiennes

o 4.10 Matrices unitaires

o 4.11 Matrices quaternioniques

• 5 Décomposition d'une matrice

o 5.1 Réduction d'une matrice carrée

o 5.2 Décomposition LU

o 5.3 Décomposition QR

o 5.4 Décomposition polaire

• 6 Normes et rayon spectral

o 6.1 Normes et normes d'algèbre

o 6.2 Rayon spectral

o 6.3 Normes subordonnées

o 6.4 Norme subordonnée à la norme euclidienne

o 6.5 Structure d'espace vectoriel euclidien

o 6.6 Exponentielle d'une matrice

• 7 Notes

• 8 Voir aussi

o 8.1 Bibliographie

o 8.2 Lien externe

o 8.3 Articles connexes

Définitions

Une matrice à m lignes et n colonnes est un tableau rectangulaire de mn nombres, rangés ligne par ligne. Il y a m lignes, et dans chaque ligne n nombres.

Plus formellement et plus généralement, soient I, J et K trois ensembles (K sera souvent muni d'une structure d'anneau ou même de corps commutatif).

On appelle matrice de type (I, J)1 à coefficients dans K, toute famille d'éléments de K indexée par le produit cartésien I × J, c'est-à-dire toute application A de I × J dans K.

Le plus souvent, comme dans toute la suite de cet article, les ensembles I et J sont finis et même égaux à des ensembles de nombres entiers {1, … , m} et {1, … , n}. Dans ce cas, on dit que la matrice a m lignes et n colonnes, ou qu'elle est de dimension ou taille (m, n). En notant ai,j l'image d'un couple (i, j) par l'application A, la matrice peut alors être notée

ou plus simplement (ai,j) si le contexte s'y prête.

On représente généralement une matrice sous la forme d'un tableau rectangulaire. Par exemple, est représentée ci-dessous une matrice A, à coefficients entiers, et de dimension (3,4) :

Dans cette représentation, le premier coefficient de la dimension est le nombre de lignes, et le deuxième, le nombre de colonnes du tableau. Une matrice pour laquelle le nombre m de lignes est égal au nombre n de colonnes sera dite matrice carrée de taille (ou d’ordre) n. Une matrice ne comportant qu'une seule ligne et n colonnes est appelée matrice ligne de taille n. Une matrice comportant m lignes et une seule colonne est appelée matrice colonne de taille m.

Pour repérer un coefficient d'une matrice, on indique son indice de ligne puis son indice de colonne, les lignes se comptant du haut vers le bas et les colonnes de la gauche vers la droite. Par exemple, on notera ai,j, les coefficients de la matrice A, i compris entre 1 et 3 désignant le numéro de la ligne sur laquelle figure le coefficient envisagé, et j compris entre 1 et 4 désignant son numéro de colonne ; ainsi a2,4=7.

La disposition générale des coefficients d'une matrice A de taille (m,n) est donc la suivante

Les coefficients avec sont dits diagonaux, ceux avec sont dits extradiagonaux.

Une sous-matrice de est une matrice obtenue en sélectionnant une partie de ses lignes et une partie de ses colonnes ; on la note . On dit qu'une sous-matrice est principale si dans la définition précédente. La diagonale de est le vecteur

où .

Pour effectuer certaines opérations, il peut être utile de travailler sur le système des lignes ou des colonnes d'une matrice. On pourra alors l'écrire sous une des formes suivantes

ou

L'ensemble des matrices à coefficients

...