La Trigonométrie

Trigonométrie

Dans tout le chapitre, le plan est muni d’un repère orthonormé.

Repérage sur le cercle trigonométrique

Définition

Le cercle trigonométrique C de centre O est le cercle de centre O et de rayon 1, sur lequel, ont choisi une sens de parcours appelé sens direct (ou trigonométrique, ou positif ou le sens inverse des aiguilles d’une montre).

I et J sont 2 points du cercle trigonométrique

Enroulement de la droite numérique

Soit d une droite numérique gradué dont le 0 coïncide avec le point I. Quand on enroule sur le cercle C, la demi-droite rouge des réels positifs dans le sens direct, et celle des réels négatifs dans le sens indirect, chaque réel t vient s’appliquer sur un point M unique du cercle C.

On dit que M est l’image de t sur le cercle C.

Ex : J est l’image de π/2, mais aussi (-3π)/2

Remarque : La longueur de cercle C étant 2π, deux réel t ou t’ on même image sur le cercle C si et seulement si l’enroulement de la droite numérique entre t et t’ correspond à un nombre entier de tour de cercle

Propriété 1 : Tout point du cercle C est l’image d’une infinité de réel. Si t est l’un d’eux, les autres sont les réels t+k2π (k = nombre de tour)

Le radian

Définition : Le radian est l’unité de mesure des angles telle que la mesure en radian est égale à la longueur de l’arc que cet angle intercepte sur un cercle de rayon 1

Ex : π radian = 180°

π/2 radian = 90°

2π radian = 360°

Propriété 2 : Les mesures en degrés et en radian sont proportionnelles pour un angle.

Propriété 3 : Soit t un réel ]-π ;π] et M le point image de t sur le cercle trigonométrique. La mesure en radian de l’angle IOM = |t|

Mesure d’un angle orienté

Définition

Soit u et v, 2 vecteurs non nuls, soit M et N tels que u = OM et v = ON

Soit M’ et N’ les points d’intersections des demi-droites [OM] et [ON] avec le cercle trigonométrique de centre O.

Si M’ est l’image du réel t et N’ est l’image du réel t’ sur le cercle trigonométrique, t’-t est appelé une mesure en radian de l’angle orienté (u ;v)

Propriété 4 : Un angle orienté (u;v) possède une unique mesure et appartenant à ]-π ;π] on l’appelle la mesure principale de cet angle, ses autres mesures sont les réels α +kπ. On note (u;v) = α+k2π ou Ξα [2π] (modulo 2π)

Si M,O,N sont 3 points distinct, MON = |α| ; avec α la mesure principale de l’angle (om,on), α∈[-π ;π]

Exemple 1 :

(oi;oj) = π/2+k2π (k∈ )

ou Ξ π/2 [2π]

(oj;oi) = - π/2 +k2π (k∈ )

ou Ξ - π/( 2) [2π]

Exemple 2 :

Si M est l’image du réel t sur (C) alors (oi;oj) Ξ t[2π]

Trouver la mesure principale de 15π/4

15/4

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