Les annuités

Thème 3

Les annuités

Introduction ...................................................................................................................................... 3 1. La valeur future d’une annuité ..................................................................................................... 4 1.1 L’annuité de fin de période ................................................................................................... 5 1.2 L’annuité de début de période ............................................................................................ 12 2. La valeur actuelle d’une annuité ................................................................................................ 19 2.1 L’annuité de fin de période ................................................................................................. 19 2.2 L’annuité de début de période ............................................................................................ 25 3. Les flux monétaires variables .................................................................................................... 31 Conclusion ..................................................................................................................................... 34 Annexe 3.1 Dérivation de l’équation 3.1 ........................................................................................................... 35 Annexe 3.2 Dérivation de l’équation 3.5 ........................................................................................................... 36 Table 3 ............................................................................................................................................ 37 Table 4 ............................................................................................................................................ 38

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Schéma d’intégration des contenus

Les mathématiques financières

L’intérêt

Les annuités

La décision d’investissement

Sujets particuliers

Sujets particuliers

L’administration financière

• La valeur future d’une annuité

• La valeur actuelle d’une annuité

• Les flux monétaires variables

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Le thème 3 vous offre les outils nécessaires pour actualiser et capitaliser les an nuités. Dans ce contexte, vous devrez : – vous familiariser avec les notions d’actualisation et de capitalisation, appliquées

aux annuités; – distinguer les annuités de début de période et les annuités de fin de période; – calculer la valeur future et actuelle d’une annuité; – actualiser un flux monétaire variable en début et en fin de période.

Introduction La plupart des décisions financières font intervenir les principes d’actualisation ou de capitalisation de plusieurs flux monétaires plutôt que des montants uniques. Ces flux monétaires, s’ils répondent à certains critères, peuvent être catégorisés comme des annuités.

Une annuité se définit comme un flux monétaire périodique et constant. On qualifie de périodique un flux monétaire dont la fréquence d’occurrence est régulière. Il s’agit d’un montant d’argent qui revient plus d’une fois et à intervalle régulier (une année, un semestre, un trimestre, un mois, une semaine, etc.). On qualifie de constant un flux monétaire qui est toujours le même, d’une période à l’autre, et qui est égal du premier au dernier.

La figure 3.1 nous permet de visualiser une annuité ayant les caractéristiques suivantes : – l’annuité revient de façon périodique; – l’annuité est constante de période en période et est égale à 5 000 $; – l’annuité se répète à six reprises.

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5 000 5 000 5 000 5 000 5 000 5 000

20X0 20X1 20X2 20X3 20X4 20X5

Figure 3.1 L’annuité

Ce thème vous permettra de développer les habiletés nécessaires afin d’actualiser et de capitaliser des annuités, et ce, indépendamment de la fréquence du flux monétaire, du nombre de flux monétaires, qu’ils soient fixes ou variables ou qu’ils soient de début ou de fin de période. Notons qu’à partir de maintenant et pour les thèmes subséquents, l’intérêt retenu sera de type composé et non de type simple puisque ce dernier est fort peu représentatif de la dynamique propre à l’analyse de décisions financières couvrant une période de temps plus ou moins longue.

1. La valeur future d’une annuité La notion de valeur future ou valeur accumulée fait intervenir le principe de la capi­ talisation ou accumulation. Nous allons donc, dans cette section, déterminer la valeur future d’un ou de plusieurs flux monétaires à un moment prédéterminé dans le temps. Pour ce faire, il est nécessaire de connaître les informations suivantes : – le ou les taux couvrant la période d’analyse; – le montant du flux monétaire; – le nombre de flux monétaires; – la fréquence du flux monétaire; – la date à laquelle on veut déterminer la valeur accumulée.

De plus, nous devons établir si nous sommes en présence de flux monétaires de début ou de fin de période. En effet, cet élément aura une incidence directe sur le choix des

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outils mathématiques nécessaires pour effectuer le traitement de l’information finan­ cière le plus adéquatement possible.

En ce qui a trait à cette notion de début et de fin de période, l’emplacement du premier flux monétaire de la série de flux détermine si nous sommes en présence d’une an nuité de début ou de fin de période. Si on se réfère à la figure 3.2, on constate que le premier flux monétaire survient à la fin de la première période. Or, la fréquence des flux monétaires est périodique. Par conséquent, si un flux monétaire est de fin de période, tous les autres le sont également. Dans le même ordre d’idée, si un flux monétaire d’une série de flux monétaires est de début de période, tous les autres le sont également.

20X0 20X1 20X2 20X3 20X4 20X5 20X6

Période 1

2 3 4 5 6 Figure 3.2 Les flux monétaires de fin de période

1.1 L’annuité de fin de période Comme nous l’avons souligné plus haut, la figure 3.2 illustre une série de flux moné­ taires périodiques constants de fin de période, puisque le premier flux monétaire de la série arrive à la fin de la première période. Nous allons donc, à partir de cet exem ple, résoudre le problème de la valeur future d’une annuité, et ce, selon trois appro ches différentes : – en considérant chaque flux monétaire comme un montant unique; – en utilisant les formules mathématiques appropriées; – en utilisant les tables financières.

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