Pourquoi peut on considérer que le nombre d'or et la suite de fibonacci sont présents dans la vie de tous les jours ?

GRAND ORAL MATHS

Problématique :   Pourquoi peut on considérer que le nombre d'or et la suite de fibonacci sont  présents dans la vie de tous les jours ?

I-Suite de Fibonacci et nombre d'or

II-Lien entre les deux  

III-Présence dans la nature

Introduction

I-Suite de Fibonacci et nombre d'or

La suite de Fibonacci à été découverte en 1202 par Leonard de Pise également appelé Leonardo Fibonacci. Il a initialement créé cette suite dans le but de prévoir l'évolution des couples de lapins. Celle ci se compose de façon simple : chaque terme est la somme des deux termes précédents. Les premiers termes de la suite sont donc 0,1,1,2,3,5,8. Cette suite peut donc s'écrire sous la forme Fn+2=Fn+1+Fn avec n>=0 et F1=1 et F0=0 .  [pic 1]

La formule explicite est                                                                    . Cette formule est définie à partir de n=1                                                                      

Elle est croit très vite. (1-rac5)/2 est compris entre -1 et 0, donc ((1-rac5)/2) expn tend vers 0. Par produit, ((5-rac5/10)((1-rac5)/2)expn tend vers 0. (1+rac5)/2 est > à 1 donc ((1+rac5)/2)expn tend vers l'infini. Par produit, ((5+rac5)/10)((1+rac5)/2)expn tend vers l'infini. Par somme, Fn tend donc vers l'infini.  

Le nombre d'or a été étudié par de nombreux mathématiciens tel que Pythagore mais n'est théorisé que 3 siècles avant JC par Euclide. Celui-ci est initialement défini en géométrie comme étant le rapport de la plus grande longueur (a) sur la plus petite (b) égal au rapport de la somme des deux sur la plus grande (a) soit (a+b)/a=a/b. Ce nombre irrationnel est généralement nommé par la lettre grecque φ (phy). Celui ci est égal à (1+√5)/2 et vaut environ 1,618.  

II-Lien entre les deux

Ces deux aspects mathématiques possèdent de nombreux liens les reliant. Premièrement, on retrouve le nombre d'or dans la formule de la suite de Fibonacci.

Une équation caractéristique de la suite est r^2-r-1=0.

Δ= b^2-4ac

Δ+(-1)^2-4x1x(-1)=1+4=5

r1=(1-rac5)/2       r2=(1+rac5)/2

La seule solution positive de cette équation est donc le nombre d'or.

Plus n augmente, plus le rapport entre Fn+1 et Fn se rapproche de ce nombre.

III-Où trouve-t-on le nombre d'or et la suite de Fibonacci dans la nature ?

Le nombre d'or représenterai la proportion divine qu'on retrouve dans la nature comme dans le cœur d'un tournesol. Si on compte les spirales formées par les graines du cœur, on obtient très souvent deux nombres consécutifs de la suite de Fibonacci. On retrouve également la même chose dans la disposition d'une pomme de pain. Les fleurs comportent souvent un nombre de pétale présent dans la suite de Fibonacci. Par exemple, les tournesols possèdent 21et 34 pétales ou 34 et 55 pétales.

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